Question

Система 1 + 2cos2x = 0 √6cosy - 4sinx = 2√3(1 + sin^2y) помогите пожалуйста очень срочно

Answer 1

Ответ:

x=π/3+kπ; y=±π/4+2nπ

Объяснение:

1 + 2cos2x = 0

cos2x=-0,5

2x=±arccos(-0,5)+2kπ=±(π-arccos0,5)+2kπ=±2π/3+2kπ

x=±π/3+kπ

√6cosy - 4sinx = 2√3(1 + sin²y)

sin²y=1-cos²y

√6cosy - 4sinx = 2√3(1 + 1-cos²y)=2√3(2-cos²y)

2√3cos²y+√6cosy - 4sinx-4√3=0

2√3cos²y+√6cosy - 4sin(±π/3+kπ)-4√3=0

2√3cos²y+√6cosy - 4·(±√3/2)-4√3=0

2√3cos²y+√6cosy ± 2√3-4√3=0

2cos²y+√2cosy ± 2-4=0

1) x=-π/3+kπ

2cos²y+√2cosy - 2-4=0⇒2cos²y+√2cosy=6

2cos²y+√2cosy≤2+√2<6

2) x=π/3+kπ

2cos²y+√2cosy + 2-4=0

2cos²y+√2cosy-2=0

√2cos²y+cosy-√2=0

cosy=t, |t|≤1

√2t²+t-√2=0

D=1+8=9

t₁=(-1-3)/(2√2)=-√2<1

t₂=(-1+3)/(2√2)=√2/2

cosy=√2/2

y=±π/4+2nπ

Answer 2

Давайте решим эти уравнения по очереди.

1. Решение уравнения 1 + 2cos2x = 0:

Начнем с того, что заметим, что cos(2x) = 1 - 2sin^2(x) по формуле двойного угла для cos. Подставим это обратно в уравнение:

1 + 2(1 - 2sin^2(x)) = 0

Упростим:

1 + 2 - 4sin^2(x) = 0

4 - 4sin^2(x) = 0

Теперь выразим sin^2(x):

4sin^2(x) = 4

sin^2(x) = 1

sin(x) = ±1

Таким образом, у нас есть два случая:

a) sin(x) = 1

Это возможно только при x = π/2 + 2πk, где k - целое число.

b) sin(x) = -1

Это возможно только при x = 3π/2 + 2πk, где k - целое число.

2. Решение уравнения √6cosy - 4sinx = 2√3(1 + sin^2y):

Давайте разберемся с уравнением относительно угла y.

√6cos(y) - 4sin(x) = 2√3(1 + sin^2(y))

Мы знаем, что sin(x) = -1 при x = 3π/2 + 2πk.

Теперь подставим это значение:

√6cos(y) - 4(-1) = 2√3(1 + sin^2(y))

√6cos(y) + 4 = 2√3(1 + sin^2(y))

Теперь рассмотрим уравнение относительно угла x:

1 + 2cos(2x) = 0

Мы знаем, что cos(2x) = 1 - 2sin^2(x).

Подставим это значение:

1 + 2(1 - 2sin^2(x)) = 0

1 + 2 - 4sin^2(x) = 0

2 - 4sin^2(x) = 0

4sin^2(x) = 2

sin^2(x) = 1/2

sin(x) = ±√(1/2)

sin(x) = ±√2/2

sin(x) = ±1/√2

Таким образом, у нас есть два случая:

a) sin(x) = 1/√2

Это возможно только при x = π/4 + 2πk, где k - целое число.

b) sin(x) = -1/√2

Это возможно только при x = 5π/4 + 2πk, где k - целое число.

Теперь, у нас есть значения для sin(x) и cos(y), давайте подставим их в уравнение:

1. При x = π/2 + 2πk и sin(x) = 1:

√6cos(y) + 4 = 2√3(1 + sin^2(y))

√6cos(y) + 4 = 2√3(1 + 1)

√6cos(y) + 4 = 4√3

√6cos(y) = 4√3 - 4

cos(y) = (4√3 - 4)/√6

cos(y) = (4√3 - 4) * √6 / 6

2. При x = 3π/2 + 2πk и sin(x) = -1:

√6cos(y) - 4 = 2√3(1 + sin^2(y))

√6cos(y) - 4 = 2√3(1 + 1)

√6cos(y) - 4 = 4√3

√6cos(y) = 4√3 + 4

cos(y) = (4√3 + 4)/√6

cos(y) = (4√3 + 4) * √6 / 6

Таким образом, у нас есть значения для cos(y) в обоих случаях. Вы можете вычислить численные значения, используя калькулятор. Обратите внимание, что k - целое число, поэтому может быть множество решений для y в каждом из случаев.