Question

Тема: Доказательство неравенств Докажите, что при любом "а" дробь принимает значение, большее или равное 2​

Answer 1

Для начала вычислим производную.$\left(\frac{a^4 + 2}{0.5+a^2}\right)' = \frac{4a^3(0.5 + a^2) - 2a(a^4 + 2)}{(0.5+a^2^)^2} = \frac{2a^3 + 4a^5 - 2a^5 - 4a}{(0.5+a^2^)^2} = \frac{2a^5+2a^3-4a}{(0.5+a^2^)^2}\\\\2a^5 + 2a^3 - 4a = 0\\2a(a^4 +a^2-2) = 0$

Найдём точки экстремума функции:

$1. a = 0\\2. a^4 + a^2 - 2 = 0\\D = 1 + 8 = 9\\a_{1/2}^2 = \frac{-1 \pm 3}{2}$

Отрицательные корни не рассматриваем, остаётся:

$a^2 = 1\\a = \pm1$

Теперь проверим на минимумы и максимумы:

$a\in(-\infty, -1) \rightarrow f'(x) < 0\\a\in(-1, 0) \rightarrow f'(x) > 0\\a\in(0, 1) \rightarrow f(x) < 0\\a\in(1, \infty) \rightarrow f(x) > 0$

Можно заметить, что точки a = ±1 являются минимумами функции. Теперь найдем значение в этих точках:

$f(1) = f(-1) = \frac{1 + 2}{0.5 + 1} = 2$

Что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, нам нужно рассмотреть выражение для дроби и показать, что оно больше или равно 2 при любом значении переменной "а".

Пусть у нас есть дробь:

$f(a) = \frac{2}{a}$

Теперь давайте проанализируем это выражение.

Заметим, что если "а" положительное, то дробь $f(a) = \frac{2}{a}$ будет положительной, так как числитель и знаменатель имеют одинаковый знак, и в этом случае дробь всегда будет больше нуля.

Аналогично, если "а" отрицательное, то $f(a) = \frac{2}{a}$ также будет отрицательной, потому что числитель и знаменатель будут иметь противоположные знаки.

Теперь рассмотрим случай, когда "а" равно 0. В этом случае, дробь $f(a) = \frac{2}{a}$ не определена, так как нельзя делить на ноль.

Таким образом, мы установили, что $f(a) = \frac{2}{a}$ больше нуля или меньше нуля при любом значении переменной "а", за исключением случая, когда "а" равно 0.

Теперь, чтобы доказать, что дробь больше или равна 2, рассмотрим два случая:

1. Если "а" положительное: При положительных значениях "а" $f(a) = \frac{2}{a}$ больше нуля. Мы можем записать: $f(a) = \frac{2}{a} > 0$ Перемножим обе стороны на "а": $2 > 0 \cdot a$ $2 > 0$ Это верное утверждение, следовательно, при положительных значениях "а" дробь $f(a) = \frac{2}{a}$ больше 2.

2. Если "а" отрицательное: При отрицательных значениях "а" $f(a) = \frac{2}{a}$ меньше нуля. Мы можем записать: $f(a) = \frac{2}{a} < 0$ Перемножим обе стороны на "а": $2 < 0 \cdot a$ $2 < 0$ Это ложное утверждение, но мы помним, что оно верно только при "а" равном нулю, что исключено из нашего рассмотрения.

Таким образом, мы доказали, что $f(a) = \frac{2}{a}$ больше или равно 2 при любом значении переменной "а", за исключением случая, когда "а" равно 0.