Question

Докажите неравенство (х+2)в квадрате>_8х

Answer 1

Вот , вроде все понятно

Answer 2

Для доказательства неравенства $(x+2)^2 \geq 8x$, мы должны выполнить следующие шаги:

1. Раскроем квадрат слева от неравенства.
2. Упростим выражение.
3. Преобразуем выражение таким образом, чтобы все переменные остались слева, а числа — справа.
4. Установим условия, при которых неравенство выполняется.

Таким образом, начнем с раскрытия квадрата:

$(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$

Теперь у нас получилось:

$x^2 + 4x + 4 \geq 8x$

Далее, перенесем все члены на одну сторону:

$x^2 + 4x + 4 - 8x \geq 0$

Теперь упростим выражение:

$x^2 - 4x + 4 \geq 0$

Далее, проанализируем полученное квадратное выражение. Мы хотим узнать, при каких значениях x оно будет неотрицательным (то есть, $x^2 - 4x + 4 \geq 0$).

Для этого найдем его корни:

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4\cdot1\cdot4}}{2\cdot1}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

$x = \frac{4 \pm 0}{2}$

Таким образом, уравнение имеет единственный корень:

$x = 2$

Теперь, чтобы понять, какое значение принимает выражение $x^2 - 4x + 4$ при $x < 2$, при $x = 2$ и при $x > 2$, выберем произвольные значения из каждого интервала:

1. При $x < 2$, возьмем, например, $x = 1$: $1^2 - 4\cdot1 + 4 = 1 - 4 + 4 = 1 \geq 0$

2. При $x = 2$: $2^2 - 4\cdot2 + 4 = 4 - 8 + 4 = 0 \geq 0$

3. При $x > 2$, возьмем, например, $x = 3$: $3^2 - 4\cdot3 + 4 = 9 - 12 + 4 = 1 \geq 0$

Мы видим, что выражение $x^2 - 4x + 4$ неотрицательно, когда $x \leq 2$ и $x \geq 2$ (включительно).

Таким образом, неравенство $(x+2)^2 \geq 8x$ выполняется при $x \leq 2$ и $x \geq 2$.