Question

Сколько корней имеет заданное уравнение 2x³−12x²−30x−55=0 на промежутке (0;+∞)?

Answer 1

1 корень имеет данное уравнение на указанном промежутке

Answer 2

Для определения количества корней уравнения на заданном промежутке, мы можем воспользоваться методом интервалов знакопостоянства и теоремой Больцано-Коши.

Уравнение: 2x³ - 12x² - 30x - 55 = 0

Для начала найдем производную этого уравнения: d/dx (2x³ - 12x² - 30x - 55) = 6x² - 24x - 30

Теперь рассмотрим интервалы знакопостоянства производной, чтобы выяснить, в каких интервалах функция возрастает или убывает:

1. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение: 6x² - 24x - 30 = 0

Мы получим: x² - 4x - 5 = 0

Решим квадратное уравнение: x = (4 ± √(4² + 415)) / 2 = (4 ± √36) / 2 = (4 ± 6) / 2

Таким образом, критические точки: x₁ = 5 и x₂ = -1.

2. Теперь построим знаковую таблицу для производной, используя критические точки:

scssCopy code
     x < -1    |    -1 < x < 5    |    x > 5
___________________________________________
  f'(x) < 0   |   f'(x) > 0    |   f'(x) > 0

Из таблицы видно, что функция убывает на интервале (-∞, -1), возрастает на интервале (-1, 5) и также возрастает на интервале (5, +∞).

3. Теперь найдем значения функции на концах интервала (0 и +∞):

• При x → 0: f(0) = 20³ - 120² - 30*0 - 55 = -55
• При x → +∞: f(+∞) → +∞ (так как старший член 2x³ стремится к +∞ при x → +∞)

Из таблицы знаков и значений функции на концах интервала можно сделать вывод, что на промежутке (0; +∞) уравнение имеет один корень, так как оно пересекает ось x только один раз.

Таким образом, уравнение 2x³ - 12x² - 30x - 55 = 0 имеет ровно один корень на промежутке (0; +∞).