Question

Знайдіть проміжки зростання і спадання функції y= x^4 - 4x^2

Answer 1

Ответ: приложено

Объяснение:

Answer 2

Для знаходження проміжків зростання та спадання функції y = x^4 - 4x^2 спершу знайдемо похідну цієї функції та визначимо її знаки на різних інтервалах.

Похідна функції y = x^4 - 4x^2: y' = 4x^3 - 8x

Тепер розглянемо діапазони зростання та спадання, аналізуючи знаки похідної:

1. Знайдемо критичні точки, де похідна дорівнює нулю: 4x^3 - 8x = 0 4x(x^2 - 2) = 0 x = 0 або x = ±√2

2. Визначимо знаки похідної на інтервалах між цими точками та за межами них. Скористаємося тестовими точками в кожному інтервалі:

   1. Інтервал: (-∞, -√2) Виберемо x = -3 (негативне значення за межами критичних точок). Підставимо x = -3 у похідну: y'(-3) = 4*(-3)^3 - 8*(-3) = -108 + 24 = -84 (від'ємне) Значить, на цьому інтервалі функція спадає.

   2. Інтервал: (-√2, 0) Виберемо x = -1 (негативне значення між критичними точками). Підставимо x = -1 у похідну: y'(-1) = 4*(-1)^3 - 8*(-1) = -4 + 8 = 4 (позитивне) Значить, на цьому інтервалі функція зростає.

   3. Інтервал: (0, √2) Виберемо x = 1 (позитивне значення між критичними точками). Підставимо x = 1 у похідну: y'(1) = 4*(1)^3 - 8*(1) = 4 - 8 = -4 (від'ємне) Значить, на цьому інтервалі функція спадає.

   4. Інтервал: (√2, ∞) Виберемо x = 3 (позитивне значення за межами критичних точок). Підставимо x = 3 у похідну: y'(3) = 4*(3)^3 - 8*(3) = 108 - 24 = 84 (позитивне) Значить, на цьому інтервалі функція зростає.

Отже, проміжки зростання та спадання функції y = x^4 - 4x^2 такі:

• Функція зростає на інтервалі (-√2, 0) та (√2, ∞).
• Функція спадає на інтервалі (-∞, -√2) та (0, √2).