Question

Pізниця між сьомим і п'ятим членами геометричної прогресії дорівнює 96, сума п'ятого та шостого членів прогресії дорівнюе 96. Знайти п'ятнадцятий член цієї прогресії.​

Answer 1

Ответ: b₁₅=32768.

Объяснение:

b₁₅=?

{b₇-b₅=96        {b₁q⁶-b₁q⁴=96      {b₁q⁴*(q²-1)=96

{b₅+b₆=96       {b₁q⁴+b₁q⁵=96      {b₁q⁴*(1+q)=96

Разделим второе уравненние на первое:

(q²-1)/(1+q)=1

(q-1)*(q+1)/(q+1)=1

q-1=1

q=2.

b₁*2⁴*(1+2)=96

b₁*16*3=96

48*b₁=96  |÷48

b₁=2.

b₁₅=b₁q¹⁴=2*2¹⁴=2¹⁵

b₁₅=32768.

Answer 2

Позначимо перший член геометричної прогресії як a, а знаменник прогресії як r.

Тоді сьомий член прогресії буде: a * r^6, а п'ятий член прогресії буде: a * r^4.

За умовою задачі маємо, що різниця між сьомим і п'ятим членами дорівнює 96:

a * r^6 - a * r^4 = 96.

Також, сума п'ятого та шостого членів прогресії дорівнює 96:

a * r^4 + a * r^5 = 96.

Тепер маємо систему двох рівнянь з двома невідомими a і r:

1. a * r^6 - a * r^4 = 96,
2. a * r^4 + a * r^5 = 96.

Можемо звести одне з рівнянь до іншого:

1. r^2 * (a * r^4) - a * r^4 = 96,
2. r^4 * (a * r^4) + a * r^5 = 96.

Тепер знайдемо спільний множник (a * r^4):

r^2 * (a * r^4) - (a * r^4) + r^4 * (a * r^4) + a * r^5 = 96, (a * r^4)(r^2 + r^5) = 96.

Тепер знаходимо a * r^4:

a * r^4 = 96 / (r^2 + r^5).

Тепер знаходимо r, підставляючи в друге рівняння:

a * r^4 + a * r^5 = 96, (96 / (r^2 + r^5)) + a * r^5 = 96.

Розставимо відповідно до a * r^5:

a * r^5 * (1 + (r^2 / (r^2 + r^5))) = 96.

Тепер можемо знайти a * r^5:

a * r^5 = 96 / (1 + (r^2 / (r^2 + r^5))).

Знаючи a * r^4 і a * r^5, можемо знайти a:

a * r^4 = 96 / (r^2 + r^5), a * r^5 = 96 / (1 + (r^2 / (r^2 + r^5))).

Далі знаходимо a:

a = (96 / (r^2 + r^5)) / (96 / (1 + (r^2 / (r^2 + r^5)))).

a = (1 + (r^2 / (r^2 + r^5))).

Тепер можемо знайти значення r:

a * r^4 = 96 / (r^2 + r^5).

(1 + (r^2 / (r^2 + r^5))) * r^4 = 96 / (r^2 + r^5).

Множимо обидві сторони на (r^2 + r^5):

(r^2 + r^5) * (1 + (r^2 / (r^2 + r^5))) * r^4 = 96.

Здійснимо спрощення:

r^6 + r^5 * (1 + (r^2 / (r^2 + r^5))) = 96.

r^6 + r^5 + r^7 / (r^2 + r^5) = 96.

r^6 + r^5 + r^7 / (r^2 + r^5) - 96 = 0.

Тепер маємо квадратне рівняння відносно r^5:

r^5 + r^4 + r^7 - 96 * (r^2 + r^5) = 0.

Вирішимо це рівняння числовим методом або іншими способами для знаходження r^5. Одержавши значення r^5, легко знайти r та a:

r = (r^5)^(1/5),

a = (1 + (r^2 / (r^2 + r^5))).

Після знаходження r та a, можна знайти п'ятнадцятий член прогресії:

п'ятнадцятий член = a * r^14.