Question

Упростите выражение: sin 32°30′cos 57°30′+cos 32°30′sin 72°30′

Answer 1

Ответ:

sin 32°30′cos 57°30′+cos 32°30′sin 72°30′= sin90° = 1

Answer 2

Для упрощения данного выражения воспользуемся тригонометрическими тождествами. Существует тождество, известное как "Формула произведения синусов", которое звучит следующим образом:

sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)

Теперь рассмотрим выражение sin 32°30′cos 57°30′ + cos 32°30′sin 72°30′:

Мы видим, что это выражение соответствует формуле произведения синусов с A = 32°30′ и B = 57°30′, а также A = 32°30′ и B = 72°30′.

Таким образом, мы можем упростить это выражение следующим образом:

sin(32°30′ + 57°30′) + sin(32°30′ + 72°30′)

Теперь рассчитаем значения в скобках:

32°30′ + 57°30′ = 90° (так как сумма дает прямой угол) 32°30′ + 72°30′ = 105°

Теперь переведем обратно в синусы:

sin(90°) + sin(105°)

sin(90°) равен 1, так как синус 90° равен 1. Теперь нам нужно вычислить sin(105°).

105° = 90° + 15°, поэтому это соответствует синусу угла суммы 90° и 15°.

sin(105°) = sin(90° + 15°)

Мы можем использовать формулу синуса угла суммы:

sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)

где A = 90° и B = 15°:

sin(90° + 15°) = sin(90°)cos(15°) + cos(90°)sin(15°)

Так как sin(90°) = 1 и cos(90°) = 0:

sin(105°) = 1 * cos(15°) + 0 * sin(15°) = cos(15°)

Таким образом, наше упрощенное выражение будет:

sin(90°) + cos(15°)

sin(90°) равен 1:

1 + cos(15°)

Для дальнейшего упрощения нам понадобится значение cos(15°). Поскольку 15° - это нестандартный угол, мы не можем найти его точное значение без калькулятора. Однако мы можем использовать тригонометрические таблицы или калькулятор, чтобы найти его численное значение, и это будет окончательным ответом.