Question

Знайдіть суму чисел 1/3 + 1/9 + 1/27 +...+ 1/729 , якщо її доданки є послідовними членами геометричної прогресії.

Answer 1

$b_1=1/3, q=1/3.$

Найдем номер последнего члена прогрессии:

$b_n=b_1q^{n-1}$

$\frac{1}{729}=\frac{1}{3}\cdot(\frac{1}{3})^{n-1},\\\\(\frac{1}{3})^6=(\frac{1}{3})^n\Rightarrow n=6$

Сумму $n$ членов прогрессии найдем по формуле $S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$:

$S_6=\frac{b_1(1-q^6)}{1-q}=\frac{1/3(1-1/729)}{1-1/3}=(1/3\cdot728/729):2/3=\frac{728}{2187} \cdot\frac{3}{2}= \frac{364}{729}.$

ОТВЕТ: $364/729$

Answer 2

Для знаходження суми геометричної прогресії, потрібно знати перший член (a) та знаменник (r). У даному випадку, перший член a = 1/3, а знаменник r = 1/3.

Сума геометричної прогресії обчислюється за формулою:

S = a * (1 - r^n) / (1 - r)

де S - сума прогресії, n - кількість членів прогресії.

У нашому випадку, n = 7 (ми маємо 7 членів прогресії, від 1/3 до 1/729):

S = (1/3) * (1 - (1/3)^7) / (1 - 1/3)

Тепер, обчислимо:

S = (1/3) * (1 - 1/2187) / (2/3) S = (1/3) * (2186/2187) / (2/3) S = (2186/6561) * (3/2) S = 0.33404307347

Таким чином, сума чисел 1/3 + 1/9 + 1/27 + ... + 1/729 дорівнює приблизно 0.3340 (заокруглено до чотирьох десяткових знаків).