Question

Решите пожалуйста cos 13n/12-cos 5n/12

Answer 1

$Cos\frac{13\pi }{12}-Cos\frac{5\pi }{12}=-2Sin\frac{\frac{13\pi }{12}+\frac{5\pi }{12}}{2}Sin\frac{\frac{13\pi }{12}-\frac{5\pi }{12}}{2}=-2Sin\frac{18\pi }{24}Sin\frac{8\pi }{24}=-2Sin\frac{3\pi}{4}Sin\frac{\pi }{3}=-2Sin(\pi-\frac{\pi }{4})Sin\frac{\pi }{3}=-2Sin\frac{\pi }{4}Sin\frac{\pi }{3}=-2*\frac{\sqrt{2} }{2}*\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{\sqrt{6}}{2}$

Answer 2

Для решения данного выражения, воспользуемся тригонометрическим тождеством, называемым "разностью косинусов":

cos(A) - cos(B) = -2 * sin((A + B) / 2) * sin((A - B) / 2)

Где A = 13n/12 и B = 5n/12.

Теперь можем подставить значения в тождество:

cos(13n/12) - cos(5n/12) = -2 * sin((13n/12 + 5n/12) / 2) * sin((13n/12 - 5n/12) / 2)

Выполняем вычисления внутри синусов:

1. (13n/12 + 5n/12) / 2 = (18n/12) / 2 = 9n/12 = 3n/4
2. (13n/12 - 5n/12) / 2 = (8n/12) / 2 = 4n/12 = n/3

Подставляем обратно:

cos(13n/12) - cos(5n/12) = -2 * sin(3n/4) * sin(n/3)

Теперь у нас осталось произведение двух синусов, которое также можно упростить, воспользовавшись тригонометрическим тождеством "произведения синусов":

sin(A) * sin(B) = 0.5 * (cos(A - B) - cos(A + B))

Где A = 3n/4 и B = n/3.

Теперь можем подставить значения в тождество:

sin(3n/4) * sin(n/3) = 0.5 * (cos(3n/4 - n/3) - cos(3n/4 + n/3))

Выполняем вычисления внутри косинусов:

1. (3n/4 - n/3) = (9n/12 - 4n/12) = 5n/12
2. (3n/4 + n/3) = (9n/12 + 4n/12) = 13n/12

Подставляем обратно:

sin(3n/4) * sin(n/3) = 0.5 * (cos(5n/12) - cos(13n/12))

Теперь у нас есть выражение вида cos(A) - cos(B), которое мы можем заменить, используя тригонометрическое тождество:

cos(A) - cos(B) = -2 * sin((A + B) / 2) * sin((A - B) / 2)

Где A = 5n/12 и B = 13n/12.

Теперь можем подставить значения в тождество:

sin(5n/12) - sin(13n/12) = -2 * sin((5n/12 + 13n/12) / 2) * sin((5n/12 - 13n/12) / 2)

Выполняем вычисления внутри синусов:

1. (5n/12 + 13n/12) / 2 = (18n/12) / 2 = 9n/12 = 3n/4
2. (5n/12 - 13n/12) / 2 = (-8n/12) / 2 = -4n/12 = -n/3

Подставляем обратно:

sin(5n/12) - sin(13n/12) = -2 * sin(3n/4) * sin(-n/3)

Теперь заметим, что sin(-x) = -sin(x), поэтому:

sin(5n/12) - sin(13n/12) = -2 * sin(3n/4) * (-sin(n/3))

Умножаем на -1:

sin(5n/12) - sin(13n/12) = 2 * sin(3n/4) * sin(n/3)

Таким образом, окончательный ответ:

cos(13n/12) - cos(5n/12) = 2 * sin(3n/4) * sin(n/3)