Question

Складіть рівняння дотичної до графіка функції f у точці з абсицсою х0, якщо f(x)=3x³+5x, x0=-3

Answer 1

Ответ:

$f(x) =3x {}^{3} + 5x \\ 0 = 3x {}^{3} + 5x \\ x = 0$

Answer 2

Для знаходження рівняння дотичної до графіка функції f у точці з абсцисою х0, потрібно знайти значення похідної функції f у цій точці і використати його для побудови рівняння дотичної прямої.

Функція f(x) дана як f(x) = 3x³ + 5x. Давайте знайдемо похідну функції f(x):

f'(x) = d/dx(3x³ + 5x)

Для знаходження похідної застосуємо правило диференціювання степеневої функції: d/dx(xⁿ) = n*x^(n-1)

f'(x) = 3 * d/dx(x³) + d/dx(5x) f'(x) = 3 * 3x² + 5 f'(x) = 9x² + 5

Тепер, знаючи похідну функції, можемо знайти її значення у точці х0 = -3:

f'(-3) = 9*(-3)² + 5 f'(-3) = 9*9 + 5 f'(-3) = 81 + 5 f'(-3) = 86

Таким чином, нахил дотичної до графіка функції f у точці з абсцисою -3 дорівнює 86.

Щоб знайти рівняння дотичної прямої, використаємо формулу для рівняння прямої вигляду y = mx + b, де m - нахил дотичної, а (x0, y0) - точка, в якій проводиться дотична.

Отже, ми знаємо m = 86 і (x0, y0) = (-3, f(-3)):

f(-3) = 3*(-3)³ + 5*(-3) f(-3) = 3*(-27) - 15 f(-3) = -81 - 15 f(-3) = -96

Таким чином, точка, в якій проводиться дотична, є (-3, -96).

Рівняння дотичної до графіка функції f у точці з абсцисою -3 має вигляд:

y = mx + b y = 86x + b

Підставимо координати точки (-3, -96) для знаходження b:

-96 = 86*(-3) + b -96 = -258 + b b = -96 + 258 b = 162

Отже, рівняння дотичної до графіка функції f у точці з абсцисою -3 має вигляд:

y = 86x + 162