Question

СРОЧНО ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ! Преобразуйте произведение в сумму: sin5xcos2x Упростите: sin8cos22+sin22cos8+2

Answer 1

1.

$\sin5x\cos2x=\dfrac{1}{2} \left(\sin(5x-2x)+\sin(5x+2x) \right)=\\=\dfrac{1}{2} \left(\sin3x+\sin7x \right)=\dfrac{1}{2} \sin3x+\dfrac{1}{2}\sin7x$

2.

$\sin8\cos22+\sin22\cos8+2=\sin(8+22)+2=\sin30+2$

Если подразумевались градусы, то цепочку можно продолжить:

$\sin30^\circ+2=\dfrac{1}{2} +2=2.5$

Answer 2

Хорошо, давайте посмотрим на каждое задание по очереди:

1. Преобразование произведения в сумму: Для преобразования произведения sin(5x)cos(2x) в сумму, мы воспользуемся формулой произведения синуса и косинуса: sin(a)cos(b) = (1/2)[sin(a+b) + sin(a-b)]

Применяем формулу: sin(5x)cos(2x) = (1/2)[sin(5x+2x) + sin(5x-2x)] = (1/2)[sin(7x) + sin(3x)]

Ответ: sin(5x)cos(2x) = (1/2)[sin(7x) + sin(3x)]

2. Упрощение выражения sin^8(2)cos^2(2) + sin^2(2)cos^8(2) + 2: Сначала заметим, что sin^2(2) + cos^2(2) = 1 (тождество тригонометрии).

Теперь представим выражение sin^8(2)cos^2(2) + sin^2(2)cos^8(2) + 2 в следующем виде: (sin^8(2)cos^2(2) + sin^2(2)cos^8(2)) + 2

Теперь используем формулу a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab: (sin^8(2)cos^2(2) + sin^2(2)cos^8(2)) = (sin^4(2)cos^2(2) + sin^2(2)cos^4(2))^2 - 2sin^2(2)cos^2(2)sin^2(2)cos^2(2))

Теперь заменим sin^2(2)cos^2(2) на (1/4) (используем тот факт, что sin^2(x)cos^2(x) = (1/4)sin^2(2x)): = [(1/4) + (1/4)]^2 - 2 * (1/4) * (1/4) = (1/2)^2 - 2 * (1/4) * (1/4) = 1/4 - 1/8 = 1/8

Таким образом, исходное выражение становится: (sin^8(2)cos^2(2) + sin^2(2)cos^8(2)) + 2 = 1/8 + 2

Ответ: sin^8(2)cos^2(2) + sin^2(2)cos^8(2) + 2 = 17/8