Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке f(x)=3cosx+cos3x [0;П]

Answer 1

Ответ:

Объяснение:f(x)=3cosx+cos3x [0;П]⇒f'(x)=-3Sinx -3Cos3x. Найдём критические точки: f'(x)=0, если -3Sinx -3Cos3x=0 ⇒ Sinx + Cos3x=0⇒ 2Sin 2x·Cosx=0⇒ 1) Sin2x=0 ⇒2x=nπ, где n∈Z, x₁=nπ/2, где n∈Z    или  2) Cosx=0 ⇒ x₂=π/2 +nπ, где n∈Z . Отрезку [0;π]  принадлежат только критические точки х=0; π/2; π. Найдём значения функции в критических точках и на концах промежутка и сравним их: f(0)= 3Cos0 +Cos (3·0)= 3·1 +1 =4;   f(π/2) =3·Cos(π/2) +Cos (3π/2) =3·0+0 =0 ;    f(π)= 3Cosπ + Cos (3π) = 3·(-1) + (-1) =-4 ⇒max f(x)= f(0)=4,  min f(x) =f(π)=- 4

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции f(x) = 3cos(x) + cos(3x) на отрезке [0, π], нужно сначала найти критические точки функции и значения в этих точках, а также значения функции на концах интервала.

1. Найдем производную функции f(x): f'(x) = -3sin(x) - 3sin(3x)

2. Найдем критические точки, приравнивая производную к нулю и решая уравнение: -3sin(x) - 3sin(3x) = 0

Для этого уравнения можно воспользоваться формулой синуса тройного угла: sin(3x) = 3sin(x) - 4sin^3(x)

Тогда уравнение примет вид: -3sin(x) - 3(3sin(x) - 4sin^3(x)) = 0

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: -3sin(x) - 9sin(x) + 12sin^3(x) = 0

9sin(x) - 3sin(x) + 12sin^3(x) = 0

12sin^3(x) + 6sin(x) = 0

2sin(x)(6sin^2(x) + 3) = 0

sin(x)(2sin^2(x) + 1) = 0

Таким образом, уравнение имеет три решения: sin(x) = 0 и 2sin^2(x) + 1 = 0

3. Найдем значения функции в критических точках и на концах интервала:

a) При sin(x) = 0: Это условие выполняется при x = 0 и x = π.

b) При 2sin^2(x) + 1 = 0: 2sin^2(x) = -1 sin^2(x) = -1/2

Так как sin^2(x) не может быть отрицательным, уравнение не имеет действительных корней, следовательно, нет дополнительных критических точек.

4. Проверим значения функции на границах интервала: f(0) = 3cos(0) + cos(3 * 0) = 3 + 1 = 4 f(π) = 3cos(π) + cos(3 * π) = -3 - 1 = -4

5. Найдем максимальное и минимальное значение функции среди найденных значений: Наибольшее значение: 4 (достигается в точке x = 0) Наименьшее значение: -4 (достигается в точке x = π)

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [0, π] равно 4, а наименьшее значение равно -4.