Question

Пользуясь определением производной, найдите производную функции g(x) = 3x^2 − x в точке x0 = 1.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

$g'(x_0)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x_0+\Delta x)-g(x_0)}{\Delta x}=\\=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{3(x_0+\Delta x)^2-(x_0+\Delta x)-3x_0^2+x_0}{\Delta x}=\\=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{3x_0^2+6x_0\Delta x+(\Delta x)^2-x_0-\Delta x-3x_0^2+x_0}{\Delta x}=\\=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{6x_0\Delta x+(\Delta x)^2-\Delta x}{\Delta x}=\\=\lim_{\Delta x \to 0} 6x_0+\Delta x-1=6x_0-1;\\g'(1)=6*1-1=5$

Answer 2

Чтобы найти производную функции g(x) = 3x^2 - x в точке x0 = 1, мы сначала найдем производную функции по определению, а затем подставим x0 = 1.

Производная функции f(x) по определению вычисляется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда это приращение аргумента стремится к нулю:

f'(x) = lim (h->0) [f(x + h) - f(x)] / h

В данном случае, функция f(x) = 3x^2 - x. Вычислим производную:

f'(x) = lim (h->0) [(3(x + h)^2 - (x + h)) - (3x^2 - x)] / h

Раскроем скобки и упростим выражение:

f'(x) = lim (h->0) [3x^2 + 6xh + 3h^2 - x - h - 3x^2 + x] / h

Упростим дальше:

f'(x) = lim (h->0) (6xh + 3h^2 - h) / h

Теперь можно сократить на h:

f'(x) = lim (h->0) (6x + 3h - 1)

Теперь подставим x = 1:

f'(1) = lim (h->0) (6 + 3h - 1)

f'(1) = lim (h->0) (3h + 5)

Теперь, вычислим предел при h -> 0:

f'(1) = 3 * 0 + 5 = 5

Таким образом, производная функции g(x) = 3x^2 - x в точке x0 = 1 равна 5.