Question

докажите что при любом натуральном n значение выражения (7n + 12)^2 - n^2 делится на 24. ПОМОГИТЕ ПЖ

Answer 1

$(7n+12)^2-n^2=(7n)^2+2\cdot12\cdot7n+12^2-n^2=49n^2+168n+144-n^2=48n^2+168n+144$

Каждое слагаемое делится на 24, а значит и значение выражения делится на 24 при любом натуральном $n$, что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Шаг 1: Проверим базовый случай. При n = 1:

Выражение: (7n + 12)^2 - n^2 = (7*1 + 12)^2 - 1^2 = 19^2 - 1 = 361 - 1 = 360.

Полученное значение (7n + 12)^2 - n^2 делится на 24, так как 360 = 24 * 15.

Шаг 2: Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа k, то есть (7k + 12)^2 - k^2 делится на 24.

Шаг 3: Докажем, что утверждение верно для k + 1.

Рассмотрим выражение для n = k + 1:

(7(k + 1) + 12)^2 - (k + 1)^2 = (7k + 19)^2 - (k^2 + 2k + 1) = 49k^2 + 2 * 7k * 19 + 19^2 - k^2 - 2k - 1.

Теперь раскроем скобки и упростим выражение:

49k^2 + 266k + 361 - k^2 - 2k - 1 = 48k^2 + 264k + 360.

Мы видим, что полученное выражение является кратным числу 24, так как каждый из слагаемых кратен 24.

Заключение: Мы доказали, что если утверждение верно для некоторого натурального числа k, то оно также верно для k + 1. Так как базовый случай верен, и из предположения следует доказательство для следующего значения, по принципу математической индукции утверждение верно для всех натуральных чисел n.

Следовательно, для любого натурального n значение выражения (7n + 12)^2 - n^2 делится на 24.