Question

Найдите минимальное значение выражения x^100-10x^50+100

Answer 1

Дана функция:

$y = {x}^{100} - 10 {x}^{50} + 100$

Найдём её производную:

$y' = ( {x}^{100} - 10 {x}^{50} + 100)' = \\ = 100 {x}^{99} - 500 {x}^{49}$

Приравниваем производную к нулю:

$100 {x}^{99} - 500 {x}^{49} = 0 \\ {x}^{99} - 5 {x}^{49} = 0 \\ {x}^{49} ( {x}^{50} - 5) = 0 \\ x = 0 \\ {x}^{50} = 5 \\ x = 0 \\ x = ± \sqrt[50]{5}$

Мы получили 3 точки возможного экстремума, причём

$- \sqrt[50]{5} < 0 < \sqrt[50]{5}$

Разместим данные точки на координатной оси и найдём интервалы, где производная положительна/отрицательна что поможет нам найти где функция возрастает/убывает (рисунок приложен)

Исходя из рисунка получили 2 точки минимума:

$- \sqrt[50]{5} \: \: и \: \: \sqrt[50]{5}$

Это и есть ответ.

Answer 2

Для нахождения минимального значения выражения x^100 - 10x^50 + 100 мы можем воспользоваться производной и анализом экстремумов.

Давайте найдем производную данного выражения по переменной x:

f(x) = x^100 - 10x^50 + 100 f'(x) = 100x^99 - 500x^49

Чтобы найти экстремумы, приравняем производную к нулю и решим уравнение:

100x^99 - 500x^49 = 0

Факторизуя это уравнение, мы получим:

100x^49(x^50 - 5) = 0

Таким образом, у нас есть два решения:

1. x^49 = 0 x = 0

2. x^50 - 5 = 0 x^50 = 5 x = ±√5

Для анализа экстремумов подставим найденные значения во вторую производную:

f''(x) = 9900x^98 - 245000x^48

Подставим x = 0:

f''(0) = 0

Подставим x = ±√5:

f''(±√5) = 9900(√5)^98 - 245000(√5)^48

Поскольку (√5)^98 и (√5)^48 положительные числа, то их знак будет определяться коэффициентами 9900 и -245000. Заметим, что 9900 положительное число, а -245000 отрицательное число.

Таким образом, f''(√5) < 0 и f''(-√5) < 0.

Это означает, что x = √5 и x = -√5 являются точками локального максимума функции f(x). Поскольку мы ищем минимальное значение, мы должны проверить значения функции на границах интервала.

Проверим значение при x = 0:

f(0) = 0^100 - 10(0)^50 + 100 = 100

Проверим значение при x = ±√5:

f(√5) = (√5)^100 - 10(√5)^50 + 100 f(-√5) = (-√5)^100 - 10(-√5)^50 + 100

Однако, так как x^100 является положительным значением, а -10x^50 отрицательным, f(√5) и f(-√5) будут больше значения f(0) = 100.

Таким образом, минимальное значение выражения x^100 - 10x^50 + 100 равно 100, и достигается оно при x = 0.