Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА Докажите, что выражениe (3n+1)(2n+5)-3(n-3)(n+3)-(5n+11) при любом целом значении n делится на 3 *

Answer 1

$(3n+1)(2n+5)-3(n-3)(n+3)-(5n+11)=\\=6n^2+15n+2n+5-3(n^2-9)-5n-11=\\=6n^2+12n-6-3n^2+27=3n^2+12n+21=3(n^2+4n+7)$

Так как в произведении есть сомножитель 3, то все произведение делится на 3.

Answer 2

Давайте разложим данное выражение и проверим, делится ли оно на 3 при любом целом значении n.

Выражение: (3n+1)(2n+5) - 3(n-3)(n+3) - (5n+11)

Раскроем скобки:

= (6n^2 + 15n + 2n + 5) - (3n^2 - 9n + 3n - 9) - (5n + 11) = 6n^2 + 17n + 5 - 3n^2 + 9n - 3n + 9 - 5n - 11 = 6n^2 - 3n^2 + 17n + 9n - 3n + 9 - 5n + 5 - 11 = 3n^2 + 20n - 3n + 9n - 5n + 3 = 3n^2 + 14n + 3

Теперь давайте рассмотрим это выражение в модуле 3. Если оно делится на 3, то остаток от деления будет равен 0.

Выражение (3n^2 + 14n + 3) mod 3:

= (3n^2 mod 3 + 14n mod 3 + 3 mod 3) mod 3 = (0 + n mod 3 + 0) mod 3 = n mod 3

Таким образом, мы получили, что выражение (3n+1)(2n+5) - 3(n-3)(n+3) - (5n+11) при любом целом значении n дает остаток от деления на 3, равный n mod 3.

Это означает, что данное выражение не обязательно делится на 3. Оно может иметь остаток 1 или 2 при делении на 3, в зависимости от значения n.

Таким образом, неверно утверждение, что данное выражение делится на 3 при любом целом значении n.