Question

Обчисліть суму членів нескінченої геометричної прогресії , у якої -bn=5*2^-n

Answer 1

Ответ: S=5.

Объяснение:

bn=5*2⁻ⁿ=5/2ⁿ.     S=?

b₁=5/2¹=5/2

b₂=5/2²=5/4

b₁=5/2³=5/8

q=b₂/b₁=(5/4)/(5/2)=1/2

q=1/2.    ⇒

S=b₁/(1-q)=(5/2)/(1-(1/2))=(5/2)/(1/2)=5

S=5.

Answer 2

Для знаходження суми нескінченої геометричної прогресії потрібно використовувати формулу:

$S = \frac{a}{1 - r},$

де $S$ - сума прогресії, $a$ - перший член прогресії, $r$ - знаменник прогресії.

В даному випадку, ми маємо рівність:

$-bn = 5 \cdot 2^{-n}.$

Ми можемо поділити обидві сторони на $-2^n$:

$b = -5 \cdot 2^{-n} \cdot \frac{1}{-2^n}.$

Отже, $b = 5$.

Тепер ми знаємо значення $b$, а отже, ми можемо знайти $a$, використовуючи початковий член та знаменник:

$a = -b \cdot r = -5 \cdot 2^{-n}.$

Відомо, що $r = \frac{a_{n+1}}{a_n}$, де $a_n$ - n-й член прогресії, тобто $a$ для даної прогресії.

Підставляючи значення $a$ та $b$ вище, отримаємо:

$r = \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{-5 \cdot 2^{-(n+1)}}{-5 \cdot 2^{-n}} = 2.$

Тепер, знаючи значення $a$ та $r$, ми можемо знайти суму прогресії $S$:

$S = \frac{a}{1 - r} = \frac{-5 \cdot 2^{-n}}{1 - 2} = \frac{5 \cdot 2^{-n}}{1} = 5 \cdot 2^{-n}.$

Отже, сума прогресії дорівнює $5 \cdot 2^{-n}$.