Question

Нeобхідно виготовити закритий циліндричний бак об'ємом 27 м^3. Знайти такі розміри баку, щоб на його виготовлення пішла найменша клькість матеріалу.

Answer 1

Решение задания в общем виде представлено во вложении.

Подставив значение объёма V = 27 м³ в полученную формулу. находим ответ:  R = 1,626 м, Н = 3,252 м.

Answer 2

Щоб знайти розміри баку, для якого піде найменша кількість матеріалу, ми повинні знайти оптимальні значення для радіуса та висоти циліндра.

Позначимо радіус бака як "r" і висоту як "h".

Об'єм циліндра можна знайти за допомогою формули: V = π * r^2 * h

Так як об'єм бака відомий і дорівнює 27 м^3, можемо записати рівняння: 27 = π * r^2 * h

Також нам потрібно знайти площу поверхні циліндра, яка вимірюється в одиницях площі (наприклад, метри квадратні). Площа поверхні складається з площі бокової поверхні та двох кругових основ: S = 2 * π * r * h + 2 * π * r^2

Тепер ми можемо сформулювати задачу оптимізації: знайти значення "r" і "h", які задовольняють обмеженню V = 27 м^3, та мінімізують значення площі поверхні S.

Для вирішення цієї задачі оптимізації, спрощемо рівняння для об'єму: 27 = π * r^2 * h h = 27 / (π * r^2)

Тепер замінимо "h" у виразі для площі поверхні: S = 2 * π * r * (27 / (π * r^2)) + 2 * π * r^2 S = 54 / r + 2 * π * r^2

Далі знайдемо похідну S по "r" та прирівняємо до нуля, щоб знайти критичні точки: dS/dr = -54 / r^2 + 4 * π * r = 0

Тепер розв'яжемо це рівняння відносно "r":

54 / r^2 = 4 * π * r r^3 = 54 / (4 * π) r^3 = 4.303

r ≈ 1.649 метри (заокруглено до трьох знаків після коми)

Тепер знаходимо "h" за допомогою рівняння h = 27 / (π * r^2):

h = 27 / (π * (1.649)^2) ≈ 3.278 метри (заокруглено до трьох знаків після коми)

Отже, оптимальні розміри для бака, щоб витратити найменше матеріалу, будуть приблизно: Радіус: 1.649 метри Висота: 3.278 метри