Question

Доведіть що при кожному натуральному значенні n число (n+4)^2-n^2 ділиться на 8

Answer 1

Объяснение:

(n+4)^2-n^2 = (n+4+n)•(n+4-n) = (2n+4)•4 = 8(n+2) - ділиться націло на 8

Answer 2

Давайте доведемо це за допомогою математичної індукції для кожного натурального значення n.

Базовий крок: При n = 1, маємо (1 + 4)^2 - 1^2 = 25 - 1 = 24. Це число ділиться на 8 (24 = 3 * 8).

Передположення індукції: Припустимо, що для деякого додатнього цілого числа k виконується, що (k + 4)^2 - k^2 ділиться на 8.

Індуктивний крок: Докажемо, що тоді і для числа k + 1 виконується, тобто маємо довести, що ((k + 1) + 4)^2 - (k + 1)^2 також ділиться на 8.

Обчислимо вираз ((k + 1) + 4)^2 - (k + 1)^2:

((k + 1) + 4)^2 - (k + 1)^2 = (k + 5)^2 - (k + 1)^2 = k^2 + 10k + 25 - (k^2 + 2k + 1) = 8k + 24

Це число представляє собою кратне число 8 (8 * (k + 3)), отже, воно ділиться на 8.

Отже, ми показали, що якщо при деякому натуральному значенні n вираз (n + 4)^2 - n^2 ділиться на 8, то він також ділиться на 8 для значення n + 1. Базовий крок показав, що вираз ділиться на 8 для n = 1. Отже, згідно з принципом математичної індукції, цей вираз ділиться на 8 для будь-якого натурального n.