Question

Найти длину дуги кривой. y=In cos x, 0 < x < pi/4

Answer 1

Ответ:

y`=(lncosx)`=(1/cosx)·(cosx)`=– sinx/cosx= –tgx

L( длина дуги)= ∫ π/60√1+(–tgx)2dx=

=∫ π/60√1/cos2xdx=

=∫ π/60(1/cosx)dx=

=ln|(tg(x/2)+(π/4)| π/60=

=ln |tg ((π/12)+(π/4))|– ln |tg(π/4)|=

=ln|tg(π/3)|– ln |tg(π/4)|=

=ln(√3)– ln1=

=ln(√3).

Объяснение:

Answer 2

Для нахождения длины дуги кривой, заданной параметрически, можно использовать формулу для длины дуги кривой в параметрической форме:

$$s = \int_{a}^{b} \sqrt{(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2} \, dt$$

Для вашей кривой y = ln(cos(x)) в пределах 0 < x < π/4, давайте сначала найдем производные dx/dt и dy/dt:

$$x(t) = t, \quad a = 0, \quad b = \frac{\pi}{4} \\ y(t) = \ln(\cos(t)) \\ \frac{dx}{dt} = 1 \\ \frac{dy}{dt} = -\frac{\sin(t)}{\cos(t)}$$

Теперь подставим эти производные в формулу для длины дуги:

$$s = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{1^2 + \left(-\frac{\sin(t)}{\cos(t)}\right)^2} \, dt$$

Упростим подынтегральное выражение:

$$s = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{1 + \tan^2(t)} \, dt$$

Так как $\tan^2(t) + 1 = \sec^2(t)$, то:

$$s = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec(t) \, dt$$

Для интегрирования этой функции используем замену переменной. Положим $u = \sec(t) + \tan(t)$, тогда $du = (\sec(t) \tan(t) + \sec^2(t)) , dt$:

$$s = \int \frac{du}{\sec(t) + \tan(t)}$$

Теперь нам нужно интегрировать новое выражение по переменной u, и пределы интегрирования будут зависеть от значения u при границах 0 и $\pi/4$. На этом этапе интегрирование может стать достаточно сложным. Возможно, понадобится использовать численные методы или специализированные программы для вычисления интегралов.

Пожалуйста, обратитесь к математическому программному обеспечению или онлайн-калькуляторам для вычисления данного интеграла.