Question

Найдите угол при вершине равнобедренного треугольника площадью 60 ед^2 , в который возможно вписать окружность наибольшего радиуса.

Answer 1

Радиус вписанной окружности равен: r = S/p.

Чтобы радиус был больше, надо полупериметр меньше.

Известно, что наименьший периметр (соответственно и полупериметр р) имеет равносторонний треугольник с углами по 60 градусов.

Ответ: угол равен 60 градусов.

 

Answer 2

Для равнобедренного треугольника с площадью S и радиусом вписанной окружности r, справедливо следующее соотношение:

$S = r \cdot p,$

где p - полупериметр треугольника.

В равнобедренном треугольнике полупериметр можно выразить через боковую сторону a и основание b:

$p = \frac{a + b + b}{2} = \frac{a + 2b}{2} = \frac{a}{2} + b.$

Так как у нас равнобедренный треугольник, боковая сторона равна основанию, то есть $a = b$.

Подставляем это обратно в формулу для полупериметра:

$p = \frac{a}{2} + a = \frac{3a}{2}.$

Теперь можем выразить радиус вписанной окружности через сторону треугольника:

$r = \frac{S}{p} = \frac{60}{\frac{3a}{2}} = \frac{40}{a}.$

Радиус вписанной окружности наибольший, когда сторона a наименьшая. Так как треугольник равнобедренный, то наименьшая сторона будет являться основанием треугольника.

Теперь у нас есть радиус вписанной окружности, и он должен быть максимальным:

$r = \frac{40}{a}.$

Для максимального радиуса вписанной окружности, необходимо минимизировать значение стороны a. Однако значение стороны a ограничено площадью треугольника S:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h,$

где h - высота треугольника.

Выразим высоту через основание a:

$h = \frac{2S}{a}.$

Подставим это обратно в выражение для площади:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{2S}{a} = S.$

Таким образом, основание a не может быть меньше, чем равно.

Следовательно, равнобедренный треугольник с максимальным радиусом вписанной окружности будет иметь наибольший угол при вершине.