Question

Якою цифрою закінчується вираз 14^2000 + 12^2000 + 13^2000

Answer 1

Ответ:

3

Объяснение:

степень числа 14 кратная 4 заканчивается  цифрой 6

степень числа 12 кратная 4 заканчивается цифрой 6

степень числа 13 кратная 4 заканчивается цифрой 3

$14^{2000} =(14^{500} )^4=.....6\\12^{2000} =(12^{500} )^4=.....6\\13^{2000} =(13^{500} )^4=.....1$

тогда 6+6+1=13, последняя цифра 3

Answer 2

Давайте розглянемо остачі від ділення кожного зі складників на 10:

1. Остача від ділення 14^2000 на 10: Відомо, що для будь-якого цілого числа a, якщо a закінчується на 4, то a^2 закінчується на 6, тобто (a^2) % 10 = 6. Отже, (14^2000) % 10 = 6.

2. Остача від ділення 12^2000 на 10: Це трохи складніше, але можна помітити, що (12^2) % 10 = 44 % 10 = 4. Отже, (12^2000) % 10 = (12^2)^1000 % 10 = (12^2 % 10)^1000 % 10 = 4^1000 % 10. Тут можна застосувати те ж правило, яке використовували для 14^2000: (4^2) % 10 = 6, отже, (4^1000) % 10 = 6.

3. Остача від ділення 13^2000 на 10: Якщо розглянути остачі від ділення кілька разів, можна помітити, що (13^1) % 10 = 3, (13^2) % 10 = 9, (13^3) % 10 = 7, (13^4) % 10 = 1, (13^5) % 10 = 3, і так далі. Оскільки показник степеня 2000 дуже великий, цей цикл буде повторюватися. Отже, (13^2000) % 10 = (13^4) % 10 = 1.

Тепер додамо остачі від кожного зі складників:

(14^2000) % 10 + (12^2000) % 10 + (13^2000) % 10 = 6 + 6 + 1 = 13.

Отже, остача від ділення виразу 14^2000 + 12^2000 + 13^2000 на 10 дорівнює 13.