Question

Помогите решить дифференциальное уравнение а) y'-y*ctg(x)=1/(sin(x)) б) y''+8y'+7y=0

Answer 1

$\displaystyle y'-y*ctg(x)=\frac{1}{sin(x)}\\\displaystyle y'-y*ctg(x)=0\\\frac{dy}{dx}=y*ctg(x)|*\frac{dx}{y}\\\frac{dy}{y}=ctg(x)dx\\\int\frac{dy}{y}=\int ctg(x)dx\\ln|y|=ln|sin(x)|+C(x)\\y=C(x)*sin(x)\\y'=C'(x)*sin(x)+C(x)*cos(x)\\C'(x)*sin(x)+C(x)*cos(x)-C(x)*cos(x)=\frac{1}{sin(x)}\\C'(x)=\frac{1}{sin^2(x)}\\C(x)=\int\frac{dx}{sin^2(x)}=-ctg(x)+C\\y=C*sin(x)-cos(x)$

$y''+8y'+7y=0\\k^2+8k+7=0\\k_1=-7;k_2=-1\\y=C_1e^{-7x}+C_2e^{-x}$

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить эти дифференциальные уравнения.

а) y' - y * ctg(x) = 1/sin(x)

Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Давайте попробуем найти его решение:

1. Приведем уравнение к стандартному виду: y' = y * ctg(x) + 1/sin(x).

2. Разделим обе стороны на y * ctg(x): y'/y = 1/ctg(x) + 1/(y * sin(x)).

3. Интегрируем обе стороны уравнения: ∫(1/y) dy = ∫(1/ctg(x) + 1/(sin(x) * y)) dx.

   Получаем: ln|y| = ln|sin(x)| - ln|cos(x)| + ln|C|, где C - постоянная интегрирования.

4. Возьмем экспоненту от обеих сторон уравнения: |y| = |C * sin(x)/cos(x)|.

5. Учитывая, что |y| = y (так как рассматриваем решение вещественного дифференциального уравнения), получаем: y = C * tan(x).

где C - произвольная постоянная.

б) y'' + 8y' + 7y = 0

Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Попробуем найти его решение:

1. Попробуем характеристическое уравнение: r^2 + 8r + 7 = 0.
2. Решим это уравнение, факторизуя его: (r + 7)(r + 1) = 0.
3. Получаем два корня: r1 = -7 и r2 = -1.

Решение будет иметь вид: y(x) = C1 * e^(-7x) + C2 * e^(-x),

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Это и есть общие решения данных дифференциальных уравнений.