Question

Выясните на каких промежутках функция возрастает а на какой убывает. найдите точки экстремума функции у=x^​4+​16/​x^​2

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 2

Для анализа возрастания и убывания функции, а также для поиска экстремумов, нужно найти производную функции и проанализировать её.

Дана функция: $f(x) = x^4 + \frac{16}{x^2}$.

1. Найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^4 + \frac{16}{x^2} \right)$

Производная состоит из двух частей: производной первого слагаемого $x^4$ и производной второго слагаемого $\frac{16}{x^2}$.

Производная первого слагаемого: $\frac{d}{dx} (x^4) = 4x^3$

Производная второго слагаемого: $\frac{d}{dx} \left( \frac{16}{x^2} \right) = -\frac{32}{x^3}$

Теперь найдем производную всей функции $f(x)$: $f'(x) = 4x^3 - \frac{32}{x^3}$

2. Теперь определим интервалы возрастания и убывания функции $f(x)$, а также точки экстремума.

Для этого анализируем знак производной $f'(x)$. Производная меняет знак в точках, где она равна нулю или не существует.

$f'(x) = 0$ $4x^3 - \frac{32}{x^3} = 0$

Домножим обе стороны на $x^3$: $4x^6 - 32 = 0$

Решим уравнение: $4x^6 = 32$ $x^6 = 8$ $x^2 = 2$ $x = \pm \sqrt{2}$

Итак, у нас есть две критические точки: $x = \sqrt{2}$ и $x = -\sqrt{2}$.

3. Теперь можем определить интервалы возрастания и убывания функции. Для этого используем знак производной на разных интервалах:

• Если $x < -\sqrt{2}$, то $f'(x) < 0$, значит, функция убывает на этом интервале.
• Если $-\sqrt{2} < x < 0$, то $f'(x) > 0$, значит, функция возрастает на этом интервале.
• Если $0 < x < \sqrt{2}$, то $f'(x) < 0$, значит, функция убывает на этом интервале.
• Если $x > \sqrt{2}$, то $f'(x) > 0$, значит, функция возрастает на этом интервале.

4. Теперь найдем значения функции $f(x)$ в критических точках и на концах интервалов:

• $f(-\sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^4 + \frac{16}{(-\sqrt{2})^2} = 2 + 8 = 10$