Question

Розкладіть на множники та розв'яжіть нерівність методом інтервалів. Повний розв'язок (x+4)^2(x^2+8x+12)<=0

Answer 1

Ответ:

(x+4)²(x²+8x+12)≤0

(x+4)(x²+8x+12)≤0

x=-4

x²+8x+12≤0

x²+8x+12=0

D=b²-4ac=64-4*12=64-48=16

x1,2=-b±√D/2a

x1=-8+4/2=-4/2=-2

x2=-8-4/2=-6

Разлаживаем квадратное уравнение по формуле:

a(x-x1)(x-x2)=(x+2)(x+6)

А далее,умножаем на (x+4):

(x+4)(x+2)(x+6)≥0

Подставляя за x разные значения,получаем:

x∈(-∞;-6]∪[-4;-2]

Объяснение:

Answer 2

Спершу розкладемо вираз на множники:

$(x+4)^2(x^2+8x+12)$

Спростимо $(x+4)^2$: $(x+4)^2 = x^2 + 8x + 16$

Отже, ми маємо: $(x+4)^2(x^2+8x+12) = (x^2 + 8x + 16)(x^2 + 8x + 12)$

Тепер розкладемо $x^2 + 8x + 16$ на множники: $x^2 + 8x + 16 = (x+4)^2$

Ми можемо розкласти $x^2 + 8x + 12$ на множники: $x^2 + 8x + 12 = (x+6)(x+2)$

Тепер підставимо ці значення назад у нерівність:

$(x+4)^2(x^2+8x+12) \leq 0$
$(x+4)^2(x+6)(x+2) \leq 0$

Розділимо числову пряму на інтервали, використовуючи критичні точки -4, -6 і -2. Ми обираємо значення з кожного інтервалу для визначення знаку виразу.

1. Інтервал $(- \infty, -6)$: Виберемо $x = -7$. $(x+4)^2 > 0$ (позитивний квадрат), $(x+6) < 0$ (від'ємний), $(x+2) < 0$ (від'ємний). Отже, вираз в цьому інтервалі буде позитивним.

2. Інтервал $(-6, -4)$: Виберемо $x = -5$. $(x+4)^2 > 0$, $(x+6) < 0$, $(x+2) < 0$. Вираз в цьому інтервалі також буде позитивним.

3. Інтервал $(-4, -2)$: Виберемо $x = -3$. $(x+4)^2 > 0$, $(x+6) > 0$, $(x+2) < 0$. Вираз в цьому інтервалі буде негативним.

4. Інтервал $(-2, \infty)$: Виберемо $x = -1$. $(x+4)^2 > 0$, $(x+6) > 0$, $(x+2) > 0$. Вираз в цьому інтервалі також буде позитивним.

Отже, нерівність виконується на інтервалах $(- \infty, -6]$ та $[-4, -2]$.

Повний розв'язок нерівності: $x \in (- \infty, -6] \cup [-4, -2]$.