Question

Срочно, пожалуйста.. Найдите промежутки возрастания и убывания функции y = x⁴- 4x² ее экстремумы и постройте график.

Answer 1

Ответ:

Решение на прикрепленной картинке.

Объяснение:

Answer 2

Конечно, давайте рассмотрим функцию y = x⁴ - 4x² и найдем промежутки возрастания и убывания, а также её экстремумы.

1. Найдем производную функции y = x⁴ - 4x²: y' = 4x³ - 8x

2. Найдем точки, в которых производная равна нулю: 4x³ - 8x = 0 4x(x² - 2) = 0 x = 0 (для точки экстремума) или x = ±√2 (для точек перегиба)

3. Теперь определим знак производной на разных интервалах, используя тестовые точки:

   • Промежуток I: x < -√2, возьмем x = -3 y'(-3) = 4*(-3)³ - 8*(-3) = -36 + 24 = -12 < 0 (убывание)

   • Промежуток II: -√2 < x < 0, возьмем x = -1 y'(-1) = 4*(-1)³ - 8*(-1) = -4 + 8 = 4 > 0 (возрастание)

   • Промежуток III: 0 < x < √2, возьмем x = 1 y'(1) = 41³ - 81 = 4 - 8 = -4 < 0 (убывание)

   • Промежуток IV: x > √2, возьмем x = 3 y'(3) = 43³ - 83 = 108 - 24 = 84 > 0 (возрастание)

Итак, у нас есть промежутки возрастания и убывания:

• Возрастание: -√2 < x < 0 и x > √2
• Убывание: x < -√2 и 0 < x < √2

Теперь найдем экстремумы:

• Точка экстремума: x = 0 y(0) = 0⁴ - 4*0² = 0

• Точки перегиба: x = ±√2 y(√2) ≈ -2 y(-√2) ≈ -2

Теперь мы можем построить график функции:

На графике видно, что в точке x = 0 есть минимум (экстремум), а в точках x = ±√2 есть точки перегиба.