Question

Найдите производную функции в указанной точке а) y=x^4, x=1;б) y=2cosx+1, x=pi/4в) y= √x(x+2), x=4

Answer 1

а).

$y = x^4$.

$y'=(x^4)'=4x^3$.

При $x=1$:

$4x^3=4 \cdot 1^3 = 4$.

Ответ: $4.$

б).

$y = 2 \;\! \cos \;\! x + 1$.

$y' = (2 \;\! \cos \;\! x)' = 2 \cdot (\cos \;\! x)' = -2 \;\! \sin \;\! x$.

При $x= \pi /4$:

$-2 \;\! \sin \;\! x = -2 \;\! \sin \;\! \dfrac{\pi}{4} = -2 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = - \sqrt{2}$.

Ответ: $-\sqrt{2}.$

в).

$y = \sqrt{x} \cdot (x+2)$.

$\displaystyle y' = (\sqrt{x} \cdot (x+2))' = (x^{1/2} \cdot (x^1+2))' = (x^{3/2} + 2 \cdot x^{1/2})' =\\\\= \frac{3}{2} \cdot x^{1/2} + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot x^{-1/2} = \frac{3 \cdot \sqrt{x} }{2} + \frac{1}{\sqrt{x}} = \dfrac{3x+2}{2 \cdot \sqrt{x} }$

При $x=4$:

  $\displaystyle \frac{3x+2}{2 \cdot \sqrt{x} } = \frac{3 \cdot 4 +2}{2 \cdot \sqrt{4} } =\frac{14}{4} = \frac{7}{2} = 3,5$.

Ответ: $3,5 \; .$

Answer 2

Давайте найдем производные указанных функций в заданных точках:

а) y = x^4 Для нахождения производной функции y = x^4 используем правило степенной производной: y' = 4x^3.

Подставим x = 1: y'(1) = 4 * 1^3 = 4.

б) y = 2cos(x) + 1 Для нахождения производной функции y = 2cos(x) + 1 используем производную элементарной функции cos(x) и константы: y' = -2sin(x).

Подставим x = π/4: y'(π/4) = -2sin(π/4) = -2 * (√2 / 2) = -√2.

в) y = √(x(x+2)) Для нахождения производной функции y = √(x(x+2)) используем правило производной сложной функции (правило цепочки) и производную корня: y' = (1/2) * (x(x+2))^(-1/2) * (1 + 2) = (1/2) * (x(x+2))^(-1/2) * (x+2).

Подставим x = 4: y'(4) = (1/2) * (4(4+2))^(-1/2) * (4+2) = (1/2) * (24)^(-1/2) * 6 = 3 / √24 = 3 / (2√6).

Итак, производные в указанных точках: а) y'(1) = 4. б) y'(π/4) = -√2. в) y'(4) = 3 / (2√6).