Question

Решите дробные рациональные уравнения: 1. 2x^2-7x/x^2-9=9-2x/9-x^2 2. 6x/x+1+16/x^2+x=11/x

Answer 1

1)

$\frac{2x^2-7x}{x^2-9}=\frac{9-2x}{9-x^2}\\x\neq 3, x\neq -3\\(2x^2-7x)(9-x^2)=(9-2x)(x^2-9)\\(2x^2-7x)(9-x^2)-(9-2x)(x^2-9)=0\\x^2-9 = -(9-x^2)\\(2x^2-7x)(9-x^2)+(9-2x)(9-x^2)=0\\(9-x^2)((2x^2-7x)+(9-2x))=0\\(9-x^2)(2x^2-9x+9)=0\\2x^2-9x+9=0\\D=81-72=9. \sqrt{D}=3\\x_1=\frac{9+3}{4}=3\\x_2=\frac{9-3}{4}=1,5$

Первый корень не подходит по условию, поэтому $x=1,5$ – единственное решение.

2)

$\frac{6x}{x+1}+\frac{16}{x^2+x}=\frac{11}{x}\\\\\frac{6x^2}{x(x+1)}+\frac{16}{x(x+1)} = \frac{11(x+1)}{x(x+1)}\\\\\frac{6x^2+16}{x(x+1)}=\frac{11x+11}{x(x+1)}\\\\\frac{6x^2+16-11x-11}{x(x+1)} = 0\\\frac{6x^2-11x+5}{x(x+1)}=0\\\\x \neq 0, x \neq -1\\\\6x^2-11x+5=0\\\\D=121-120=1\\\\x_1 = \frac{11+1}{12}=1\\x_2=\frac{11-1}{12}=\frac{5}{6}$

Answer 2

Давайте решим оба дробных рациональных уравнения.

1. 2x^2 - 7x / (x^2 - 9) = (9 - 2x) / (9 - x^2)

Для начала, давайте приведем дроби к общему знаменателю, который равен (x + 3)(x - 3) (это разложение знаменателя x^2 - 9):

(2x^2 - 7x) / (x + 3)(x - 3) = (9 - 2x) / (x + 3)(3 - x)

Теперь можем умножить обе стороны на (x + 3)(x - 3) для избавления от знаменателей:

(2x^2 - 7x) = (9 - 2x)

Теперь приведем все члены в одну сторону:

2x^2 - 7x - 9 + 2x = 0

Соберем все члены в квадратное уравнение:

2x^2 - 5x - 9 = 0

Для решения этого уравнения можно использовать квадратное уравнение или факторизацию:

2x^2 - 5x - 9 = 0

Решение этого квадратного уравнения дает два значения x:

x₁ = (-b + √(b² - 4ac)) / 2a x₂ = (-b - √(b² - 4ac)) / 2a

где a = 2, b = -5 и c = -9. Подставляя значения, получим:

x₁ = (5 + √(25 + 72)) / 4 x₂ = (5 - √(25 + 72)) / 4

x₁ = (5 + √97) / 4 x₂ = (5 - √97) / 4

2. 6x / (x + 1) + 16 / (x^2 + x) = 11 / x

Для начала, давайте приведем дроби к общему знаменателю, который можно взять равным x(x + 1):

(6x / (x + 1)) + (16 / (x(x + 1))) = 11 / x

Теперь можем умножить обе стороны на x(x + 1) для избавления от знаменателей:

6x^2 + 16(x + 1) = 11(x + 1)

Раскроем скобки:

6x^2 + 16x + 16 = 11x + 11

Переносим все члены в одну сторону:

6x^2 + 16x + 16 - 11x - 11 = 0

Соберем все члены в квадратное уравнение:

6x^2 + 5x + 5 = 0

Это квадратное уравнение имеет сложные корни, которые могут быть выражены через дискриминант:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

где a = 6, b = 5 и c = 5. Подставляя значения, получим:

x₁ = (-5 + √(5² - 4 * 6 * 5)) / (2 * 6) x₂ = (-5 - √(5² - 4 * 6 * 5)) / (2 * 6)

x₁ = (-5 + √(-95)) / 12 x₂ = (-5 - √(-95)) / 12

Поскольку дискриминант отрицателен, корни будут комплексными числами:

x₁ = (-5/12) + (1/12)√95 * i x₂ = (-5/12) - (1/12)√95 * i

где "i" - мнимая единица.