Question

Обчислити за допомогою диференціала найближче значення виразу ∛1,1

Answer 1

Найти приближенное значение  ∛1,1.

Решение.

По условию  x = 1,1. Выберем начальную точку  xо = 1.

Тогда  Δx = x - хо = 1,1 - 1 = 0,1.

Производная функции  

f(x) = ∛x равна

f′(x) = (∛x)′ = ( x^1/3)' = (1/3)x^(-2/3) = 1/(3∛x²), а ее значение в точке  

xo составляет: f(xo) = 1/(3∛1) = 1/3.

В результате получаем следующий ответ:

f(x) ≈ f(xo) + f′(xo)*Δx,

∛1,1 = ∛1 + (1/3)*0,1 = 1 + 0,03333 = 1,03333.

Для сравнения - более точное значение ∛1,1 =1,03228.

Answer 2

Щоб знайти найближче значення виразу ∛1.1 за допомогою диференціалу, ми можемо використати апроксимацію на основі диференціалу. Припустимо, ми хочемо знайти найближче значення числа 1.1 до його кубічного кореня.

Маємо вираз: y = ∛x

Диференціал цього виразу: dy = (1/3) * x^(-2/3) * dx

Замінюємо x на 1.1: x = 1.1

Тоді dy = (1/3) * (1.1)^(-2/3) * dx

Враховуючи, що dx - це невелике зміщення від 1.1 (наприклад, можемо вважати dx = 0.01), ми можемо обчислити приблизне значення зміни у y:

dy ≈ (1/3) * (1.1)^(-2/3) * 0.01 ≈ 0.01888

Це показує, що при невеликому зміщенні від 1.1, зміна у значенні ∛1.1 буде приблизно 0.01888. Тобто, найближче значення до ∛1.1 буде:

∛1.1 + dy ≈ 1.1 + 0.01888 ≈ 1.11888

Таким чином, найближче значення виразу ∛1.1 приблизно дорівнює 1.11888.