Question

Упростите : (sin2α + 3cos2α)^2 + (cos2α – 3sin2α)^2

Answer 1

Ответ:

10

Объяснение:

$sin^{2} \alpha +cos^{2} \alpha =1$

Answer 2

Конечно, давайте упростим данное выражение:

Сначала раскроем квадраты в каждом слагаемом: (sin^2(2α) + 3cos^2(2α))^2 + (cos^2(2α) - 3sin^2(2α))^2

После раскрытия квадратов и сгруппирования подобных слагаемых внутри каждой скобки получим: (sin^4(2α) + 6sin^2(2α)cos^2(2α) + 9cos^4(2α)) + (cos^4(2α) - 6sin^2(2α)cos^2(2α) + 9sin^4(2α))

Обратите внимание, что второе слагаемое в каждой скобке можно рассматривать как "разностный квадрат", т.е. (a^2 - b^2) = (a + b)(a - b). Применяя это к обоим слагаемым, получим: (sin^4(2α) + 6sin^2(2α)cos^2(2α) + 9cos^4(2α)) + ((cos^2(2α) + 3sin^2(2α))(cos^2(2α) - 3sin^2(2α)))

Теперь можно заметить, что в первой скобке есть сумма квадратов sin и cos, которая сводится к 1 (согласно тригонометрическому тождеству sin^2(x) + cos^2(x) = 1): (sin^4(2α) + 6sin^2(2α)cos^2(2α) + 9cos^4(2α)) = 1

А во второй скобке можно использовать тождество разности квадратов: (cos^2(2α) + 3sin^2(2α))(cos^2(2α) - 3sin^2(2α)) = cos^4(2α) - 9sin^4(2α)

Теперь выражение упрощается к следующему: 1 + (cos^4(2α) - 9sin^4(2α))

И можно заметить, что (cos^4(2α) - 9sin^4(2α)) также является разностным квадратом: (cos^2(2α))^2 - (3sin^2(2α))^2 = (cos^2(2α) + 3sin^2(2α))(cos^2(2α) - 3sin^2(2α))

Таким образом, исходное выражение упрощается до: 1 + (cos^2(2α) + 3sin^2(2α))(cos^2(2α) - 3sin^2(2α))

И, наконец, можно использовать тождество синуса двойного угла и тригонометрическое тождество, чтобы упростить это дальше: 1 + (cos^2(2α) + 3(1 - cos^2(2α)))(cos^2(2α) - 3(1 - cos^2(2α)))

После упрощения получим: 1 + (3 - 2cos^2(2α))(4cos^4(2α) - 3)

И, наконец, дальше можно продолжить упрощение, но окончательный вид зависит от того, какую форму и точность требуется для вашего результата.