Question

Дана функция: f(x)=x3-2x2-7x-2, [-4; 2]. Найдите: а) производную функции б) наибольшее и наименьшее значения на заданном промежутке.​

Answer 1

Ответ:

а) f'(x) = 3х²-4х-7

б) 3х²-4х-7=0

t²-4t-21=0

t1= 7; 7÷3=7/3 => x1= 7/3 (л.к)

t2= -3; -3÷3 => x2= -1

f(-1) = -3-2+7-2 = -7+7=0

f(-4)= -64-2×16+28-2 = -64-32+28-2= -98+28= -70

f(2)= 8-2×4-14-2= 8-8-14-2= -16

Ответ: f(-1) max = 0

f(-4) min = -70

Answer 2

Давайте начнем с нахождения производной функции f(x) = x^3 - 2x^2 - 7x - 2. Производная функции позволяет нам анализировать изменение функции на заданном интервале.

а) Найдем производную функции f(x):

f(x) = x^3 - 2x^2 - 7x - 2

f'(x) = d/dx (x^3) - d/dx (2x^2) - d/dx (7x) - d/dx (2)

f'(x) = 3x^2 - 4x - 7

Теперь перейдем к нахождению наибольшего и наименьшего значений функции на заданном интервале [-4, 2].

б) Для нахождения экстремумов (максимумов и минимумов) функции на интервале, нам нужно найти критические точки, то есть точки, где производная равна нулю или не существует. Затем мы анализируем знак производной в этих точках и на концах интервала.

1. Найдем критические точки, приравнивая производную к нулю:

3x^2 - 4x - 7 = 0

Для решения этого уравнения можно использовать квадратное уравнение или другие методы. Получится:

(3x + 1)(x - 7) = 0

Это дает два корня: x = -1/3 и x = 7.

2. Теперь проанализируем знак производной в интервалах между и вокруг найденных критических точек и на концах интервала [-4, 2]:

• Когда x < -1/3: Подставим x = -2 (любое число меньше -1/3) в f'(x): f'(-2) = 3(-2)^2 - 4(-2) - 7 = 12 + 8 - 7 = 13 > 0

• Когда -1/3 < x < 7: Подставим x = 0 (любое число между -1/3 и 7) в f'(x): f'(0) = 3(0)^2 - 4(0) - 7 = -7 < 0

• Когда x > 7: Подставим x = 8 (любое число больше 7) в f'(x): f'(8) = 3(8)^2 - 4(8) - 7 = 192 - 32 - 7 = 153 > 0

Из анализа производной видно, что функция сначала убывает, затем возрастает, следовательно, у неё есть локальный минимум в точке x = -1/3 и локальный максимум в точке x = 7.

3. Теперь найдем значения функции в найденных точках, а также на концах интервала [-4, 2]:

f(-4) = (-4)^3 - 2(-4)^2 - 7(-4) - 2 = -64 + 32 + 28 - 2 = -6 f(-1/3) ≈ (-1/3)^3 - 2(-1/3)^2 - 7(-1/3) - 2 ≈ -3.74 f(2) = 2^3 - 22^2 - 72 - 2 = 8 - 8 - 14 - 2 = -16

Из анализа значений функции видно, что наибольшее значение на интервале [-4, 2] - это f(-1/3) ≈ -3.74, а наименьшее значение - это f(2) = -16.

Итак, наибольшее значение на заданном интервале: примерно -3.74, а наименьшее значение: -16.