Question

Докажите тождество: 2 sin альфа*cos альфа*cos 2 альфа=1/2 sin 4 альфа​

Answer 1

$\underbrace {2\, sin\alpha \cdot cos\alpha }_{sin2\alpha }\cdot cos2\alpha =sin2\alpha \cdot cos2\alpha =\frac{1}{2}\cdot \underbrace {2\, sin2\alpha \cdot cos2\alpha }_{sin4\alpha }=\frac{1}{2}\cdot sin4\alpha \\\\\\\frac{1}{2}\cdot sin4\alpha =\frac{1}{2}\cdot sin4\alpha$

Answer 2

Для доказательства данного тождества мы воспользуемся тригонометрическими тождествами и формулами двойного угла.

Исходное тождество:

2 * sin(α) * cos(α) * cos(2α) = 1/2 * sin(4α)

Давайте разберемся с каждой частью по отдельности.

1. Формула двойного угла для косинуса: cos(2α) = 2 * cos²(α) - 1

2. Подставляем формулу двойного угла для косинуса в исходное тождество: 2 * sin(α) * cos(α) * (2 * cos²(α) - 1)

3. Формула удвоенного аргумента для синуса: sin(2α) = 2 * sin(α) * cos(α)

4. Подставляем формулу удвоенного аргумента для синуса: 2 * (sin(2α)) * (2 * cos²(α) - 1)

5. Раскрываем скобки: 4 * sin(2α) * cos²(α) - 2 * sin(2α)

6. Используем тригонометрическое тождество sin(2α) = 2 * sin(α) * cos(α): 8 * sin(α) * cos(α) * cos²(α) - 2 * (2 * sin(α) * cos(α))

7. Упрощаем выражение: 8 * sin(α) * cos(α) * cos²(α) - 4 * sin(α) * cos(α)

8. Формула удвоенного аргумента для синуса (еще раз): sin(2α) = 2 * sin(α) * cos(α)

9. Подставляем формулу удвоенного аргумента для синуса в последний член: 8 * sin(α) * cos(α) * cos²(α) - 2 * sin(2α)

10. Теперь воспользуемся формулой двойного аргумента для синуса: sin(4α) = 2 * sin(2α) * cos(2α)

11. Подставляем формулу двойного аргумента для синуса в исходное тождество: 8 * sin(α) * cos(α) * cos²(α) - 2 * (2 * sin(2α) * cos(2α))

12. Подставляем значение sin(2α) из пункта 10 и значение cos(2α) из пункта 1: 8 * sin(α) * cos(α) * cos²(α) - 2 * (sin(4α))

Таким образом, доказано, что:

2 * sin(α) * cos(α) * cos(2α) = 8 * sin(α) * cos(α) * cos²(α) - 2 * (sin(4α)) = 1/2 * sin(4α)