Question

Известно, что sin2α=0,8 и π/4<α< π/2 . Найдите: tg α . Укажите какие теоретические знания использовали.

Answer 1

Ответ:

tgx=(1-cos2x)/sin2x

sin^2(2x)=0.64

cos^2(2x)=0.36

cos2x=-0.6

tgx=(1+0.6)/0.8=2

Answer 2

Мы знаем, что $\sin(2\alpha) = 0.8$. Из тригонометрических идентичностей мы также знаем, что $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$.

Так как $\frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{\pi}{2}$, мы знаем, что $\sin(\alpha) > 0$ и $\cos(\alpha) > 0$, так как синус и косинус положительны во второй четверти.

Итак, у нас есть уравнение: $2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = 0.8$

Разделим обе стороны на $2\cos(\alpha)$: $\sin(\alpha) = \frac{0.8}{2\cos(\alpha)}$

Теперь мы можем использовать теоретические знания о тангенсе: $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$

Подставим значение $\sin(\alpha)$, полученное из предыдущего уравнения: $\tan(\alpha) = \frac{0.8}{2\cos^2(\alpha)}$

Зная, что $\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha)$, подставим это значение: $\tan(\alpha) = \frac{0.8}{2(1 - \sin^2(\alpha))}$

Мы знаем, что $\sin^2(\alpha) = \frac{\sin(2\alpha)}{2}$, поэтому: $\tan(\alpha) = \frac{0.8}{2\left(1 - \frac{\sin(2\alpha)}{2}\right)}$

Теперь подставим значение $\sin(2\alpha) = 0.8$: $\tan(\alpha) = \frac{0.8}{2\left(1 - \frac{0.8}{2}\right)}$

Выполняя вычисления, получим: $\tan(\alpha) = \frac{0.8}{2\left(1 - 0.4\right)} = \frac{0.8}{2 \times 0.6} = \frac{0.8}{1.2} = \frac{2}{3}$

Итак, $\tan(\alpha) = \frac{2}{3}$.

В этом решении были использованы знания о тригонометрических идентичностях, диапазоне значений синуса и косинуса во второй четверти и связях между тригонометрическими функциями.