Question

Чему равна площадь S криволинейной трапеции, ограниченной осью Ox, прямыми x = -1, x = 2 и параболой y = 9 - x2?

Answer 1

Ответ:

S = 24

Объяснение:

$S = \int\limits^2_{-1} {(9 -x^{2})} \, dx = (9x - \dfrac{x^{3}}{3} )\Big|_{-1}^{2} = 18 - \dfrac{8}{3} - (-9 + \dfrac{1}{3} )= 18 - \dfrac{8}{3} +9 - \dfrac{1}{3} = 24$

Answer 2

Для вычисления площади криволинейной трапеции между кривой и двумя вертикальными линиями, нужно воспользоваться определенным интегралом.

В данном случае у нас есть две вертикальные линии x = -1 и x = 2, и парабола y = 9 - x^2. Площадь трапеции можно вычислить как разность интегралов параболы между пределами x = -1 и x = 2.

Площадь S будет равна:

S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx,

где f(x) - верхняя функция (парабола), g(x) - нижняя функция (ось Ox), [a, b] - интервал интегрирования.

В данном случае: f(x) = 9 - x^2, g(x) = 0, a = -1, b = 2.

Таким образом, площадь S будет равна:

S = ∫[-1, 2] (9 - x^2 - 0) dx = ∫[-1, 2] (9 - x^2) dx.

Вычислим этот интеграл:

S = [9x - (x^3)/3] | от -1 до 2 S = (92 - (2^3)/3) - (9(-1) - ((-1)^3)/3) S = (18 - 8/3) - (-9 + 1/3) S = (54 - 8) / 3 + (9 - 1) / 3 S = 46/3 + 8/3 S = 54/3 S = 18.

Итак, площадь криволинейной трапеции между параболой y = 9 - x^2, вертикальными линиями x = -1 и x = 2, а также осью Ox равна 18 квадратных единиц.