Question

Розвяжіть рівняння (2х-3)/(х²+4х+4)-(х+1)/(х^2+2х)=5/х

Answer 1

Ответ: -1, -5,5

Объяснение:

Все в фото

Answer 2

Щоб розв'язати дане рівняння, спочатку скоротимо спільні доданки. Зауважимо, що у знаменнику першого доданку маємо квадратний тричлен, який можна факторизувати, а саме $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$. Також у знаменнику другого доданку маємо квадратний тричлен $x^2 + 2x$, який можна факторизувати як $x(x + 2)$.

Застосуємо ці факторизації:

$\frac{2x - 3}{x^2 + 4x + 4} - \frac{x + 1}{x^2 + 2x} = \frac{5}{x}$

$\frac{2x - 3}{(x + 2)^2} - \frac{x + 1}{x(x + 2)} = \frac{5}{x}$

Знайдемо спільний знаменник для обох дробів:

$\frac{(2x - 3)x - (x + 1)(x + 2)}{(x + 2)^2} = \frac{5(x + 2)}{x(x + 2)}$

$\frac{2x^2 - 3x - (x^2 + 3x + 2)}{(x + 2)^2} = \frac{5x + 10}{x(x + 2)}$

Розкриємо дужки в чисельнику:

$\frac{2x^2 - 3x - x^2 - 3x - 2}{(x + 2)^2} = \frac{5x + 10}{x(x + 2)}$

Спростимо чисельник:

$\frac{x^2 - 6x - 2}{(x + 2)^2} = \frac{5x + 10}{x(x + 2)}$

Помножимо обидві частини рівняння на $x(x + 2)$ для позбавленняся від знаменників:

$x(x + 2) \cdot \frac{x^2 - 6x - 2}{(x + 2)^2} = x(x + 2) \cdot \frac{5x + 10}{x(x + 2)}$

Спростимо знаменники:

$x(x - 6) - 2 = 5(x + 2)$

Розкриємо дужки:

$x^2 - 6x - 2 = 5x + 10$

Перенесемо всі доданки на одну сторону рівняння:

$x^2 - 6x - 5x - 2 - 10 = 0$

$x^2 - 11x - 12 = 0$

Знайдемо корені цього квадратного рівняння. Можемо скористатися квадратним дискримінантом або розкласти на множники.

Знайдемо дискримінант: $D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 121 + 48 = 169$

Корінь дискримінанта: $\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$

Застосуємо формули квадратного рівняння:

$x = \frac{-(-11) \pm 13}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{11 \pm 13}{2}$

Таким чином, маємо два розв'язки:

$x_1 = \frac{11 + 13}{2} = 12$

$x_2 = \frac{11 - 13}{2} = -1$