Question

Уравнение x3–3x2+(a+2)x–2a=0 имеет три корня, и два из них противоположны друг другу. Найдите значение a

Answer 1

х³-3х²+(а+2)х-2а=0

х³-3х²+ах+2х-2а=0

х(х²-3х+2)+а(х-2)=0

х((х-2)(х-1))+а(х-2)=0

(х-2)(х(х-1)+а)=0

(х-2)(х²-х+а)=0

1) х-2=0 => х=2

Если уравнение должно иметь 2 противоположных корня, то второй множитель должен иметь один из корней, равный -2:

х²-х+а=0

(х+2)(х-3)=0

х²-х+6=0

Уравнение имеет 3 корня: х=2; х=-2; х=3.

Подставим все значения Х в уравнение:

1) х³-3х²+(а+2)х-2а=0

2³-3×2²+(а+2)×2-2а=0

8-12+2а+4-2а=0

0=0

2) х³-3х²+(а+2)х-2а=0

(-2)³-3×(-2)²+(а+2)×(-2)-2а=0

-8-12-2а-4-2а=0

-4а-24=0

а=-6

3) х³-3х²+(а+2)х-2а=0

3³-3×3²+(а+2)×3-2а=0

27-27+3а+6-2а=0

а=-6

Ответ: а=-6

Answer 2

Данное уравнение имеет три корня, и два из них противоположны друг другу. Пусть эти два корня будут $x_1$ и $-x_1$, где $x_1$ — некоторое положительное число. Третий корень обозначим как $x_2$.

Таким образом, у нас есть следующая система уравнений:

1. $x_1 + (-x_1) + x_2 = 3$ (сумма корней равна коэффициенту при $x^2$, то есть -3)
2. $x_1 \cdot (-x_1) + x_1 \cdot x_2 + (-x_1) \cdot x_2 = -(a+2)$ (по теореме Виета сумма произведений корней равна коэффициенту при $x$, то есть $a+2$)

Упрощая первое уравнение, получаем:

$x_2 = 3$

Подставляем это значение во второе уравнение:

$x_1 \cdot (-x_1) + x_1 \cdot 3 + (-x_1) \cdot 3 = -(a+2)$ $-x_1^2 + 3x_1 - 3x_1 = -(a+2)$ $-x_1^2 - 3x_1 = -(a+2)$

Теперь мы знаем, что $x_1$ — положительное число, поэтому можем воспользоваться этим для решения уравнения:

$x_1^2 + 3x_1 = a+2$

Так как у нас нет дополнительной информации о $x_1$ или $x_2$, мы не можем найти значение $a$ напрямую. Однако вы можете использовать дополнительные уравнения или ограничения, если они имеются в вашей задаче, чтобы определить значение $a$.