Question

В партии из 12 деталей 9 стандартных. Найти вероятность того, что среди 5 наудачу взятых деталей 2 стандартных.

Answer 1

Ответ:

$\frac{2}{33}$

Объяснение:

Вероятность по классической формуле равна: $P(A) = \frac{m}{n},$ где A - событие; P(A) - вероятность этого события; n - общее количество событий , а m - количество событий, которые способствуют событию A.

1) Сначала найдём общее количество исходов n - это число способов выбрать наудачу любые 5 деталей из 12 имеющихся. Несомненно, что если я в правой руке буду держать 3 детали, а в правой - 2, или наоборот, то результат того, когда мы взяли в руки детали и как именно, будет несущественным. Поэтому число всех исходов $n = C_{12}^5$.

2) Перейдем теперь к число событиям, способствующим событию A (т.е. к m). Чтобы число m благоприятсвовало событию A, нужно чтобы из 5 наудачу взятых деталей 2 были стандартными, а 3 - нестандартных.

Стандартных деталей всего 9, а число способов выбрать из 9 стандартных деталей только 2 (стандартных) равно $C_{9}^2$.  

Нестандартных деталей всего $12-9=3$, а число способов выбрать из 3 нестандартных те же 3 нестандартных равно $C_{3}^3$.

3) Если первое действие можно выполнить x способами, а второе действие y способами, то все действия могут быть выполнены x * y способами (правило умножения). Пусть первое действие это выбирание 2 стандартных деталей из 9 ($C_{9}^2$), а второе действие - выбирание 3 нестандартных деталей из 3 ($C_{3}^3$), тогда всего способов выбрать 2 стандартные детали из 9 и 3 нестандартные детали из 3 будет: $m = C_{9}^2 * C_{3}^3$

4) Тогда искомая вероятность равна:

$P(A) = \frac{m}{n}= \frac{ C_{9}^2 * C_{3}^3}{C_{12}^5} = \frac{\frac{9!}{2!*7!} }{\frac{12!}{5!*7!} } = \frac{9!}{2!*7!} * \frac{5!*7!}{12!} = \frac{9!}{1*2*7!} * \frac{1*2*3*4*5*7!}{1*2*...*9*10*11*12} = \frac{3*4*5}{10*11*12} = \frac{2}{33} .$

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать комбинаторику и вероятность.

Итак, у нас есть 12 деталей, из которых 9 стандартных и 3 нестандартных. Мы хотим найти вероятность того, что из 5 случайно выбранных деталей ровно 2 будут стандартными.

Всего способов выбрать 5 деталей из 12 можно вычислить с помощью биномиального коэффициента:

C(12, 5) = 12! / (5! * (12 - 5)!) = 792.

Теперь мы должны рассмотреть, как можно выбрать 2 стандартные детали из 9 и 3 нестандартные детали из 3:

C(9, 2) = 9! / (2! * (9 - 2)!) = 36, C(3, 3) = 3! / (3! * (3 - 3)!) = 1.

Теперь мы можем вычислить количество способов выбрать ровно 2 стандартные детали и 3 нестандартные:

36 * 1 = 36.

Итак, вероятность выбрать 2 стандартные детали и 3 нестандартные из 5 деталей:

P(2 стандартных из 5) = (количество способов выбрать 2 стандартные и 3 нестандартные) / (всего способов выбрать 5 деталей) = 36 / 792 ≈ 0.0455.

Итак, вероятность составляет около 0.0455 или около 4.55%.