Question

Знайдіть первісну функції f(x)=3x^2+2x,графік якої проходить через точку (1;7)

Answer 1

$f(x)=3x^2+2x\\\\F(x)=3*\frac{x^3}{3}+2*\frac{x^2}{2}+C=x^3+x^2+C\\\\(x;y)=(1;7)=>7=1^3+1^2+C=>7=1+1+C=>C=5\\\\F(x)=x^3+x^2+5$

Answer 2

Щоб знайти первісну функцію $F(x)$ для функції $f(x) = 3x^2 + 2x$, спершу знайдемо інтеграл від $f(x)$:

$F(x) = \int (3x^2 + 2x) \, dx$

Розділимо цей інтеграл на два окремі інтеграли:

$F(x) = \int 3x^2 \, dx + \int 2x \, dx$

Обчислимо ці інтеграли почергово:

$\int 3x^2 \, dx = x^3 + C_1$

$\int 2x \, dx = x^2 + C_2$

Тут $C_1$ і $C_2$ - це константи інтегрування.

Загальний вигляд первісної функції $F(x)$ буде:

$F(x) = x^3 + x^2 + C$

де $C = C_1 + C_2$ - константа інтегрування.

Щоб знайти константу $C$, використаємо дану інформацію, що графік проходить через точку (1, 7):

$F(1) = 1^3 + 1^2 + C = 1 + 1 + C = 2 + C$

Знаємо, що $F(1)$ також дорівнює 7, отже:

$2 + C = 7$

Відси $C = 5$.

Таким чином, первісна функція $f(x) = 3x^2 + 2x$, яка проходить через точку (1, 7), має вигляд:

$F(x) = x^3 + x^2 + 5$