Question

Решите уравнение 2 cos^2 (x+п/6)- 3sin (п/3-x)+1=0

Answer 1

Ответ:

x₁=-π/2+2πk, k∈Z

x₂=±π/6+2πk, k∈Z

Объяснение:

Воспользуемся формулой приведения:

sin(π/3-x)=cos(π/2-(π/3-x))=cos(π/6+x)

2cos²(x+π/6)-3cos(x+π/6)+1=0

a=cos(x+π/6), -1≤a≤1

2a²-3a+1=0

D=3²-4*2=1

a₁=(3-1)/4=1/2

a₂=(3+1)/4=1 ⇒

cos(x+π/6)=1/2

x+π/6=±π/3+2πk, k∈Z

x₁=-π/2+2πk, k∈Z

x₂=π/6+2πk, k∈Z

cos(x+π/6)=1

x+π/6=2πk, k∈Z

x₃=-π/6+2πk, k∈Z

Answer 2

Давайте решим данное уравнение:

Уравнение: $2 \cos^2(x + \frac{\pi}{6}) - 3 \sin(\frac{\pi}{3} - x) + 1 = 0$

Первым шагом давайте заменим $\cos^2(x + \frac{\pi}{6})$ и $\sin(\frac{\pi}{3} - x)$ на их эквивалентные выражения, используя тригонометрические тождества:

$\cos^2(x + \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} \left(1 + \cos(2x + \frac{\pi}{3})\right)$

$\sin(\frac{\pi}{3} - x) = \frac{1}{2} \left(1 - \cos(2x - \frac{\pi}{3})\right)$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$2 \cdot \frac{1}{2} \left(1 + \cos(2x + \frac{\pi}{3})\right) - 3 \cdot \frac{1}{2} \left(1 - \cos(2x - \frac{\pi}{3})\right) + 1 = 0$

Упростим:

$\cos(2x + \frac{\pi}{3}) - \frac{3}{2} \cos(2x - \frac{\pi}{3}) + \frac{1}{2} = 0$

Теперь давайте заменим $\cos(2x + \frac{\pi}{3})$ и $\cos(2x - \frac{\pi}{3})$ на их значения:

$\cos(2x + \frac{\pi}{3}) = \cos(2x) \cos(\frac{\pi}{3}) - \sin(2x) \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \cos(2x) - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(2x)$

$\cos(2x - \frac{\pi}{3}) = \cos(2x) \cos(-\frac{\pi}{3}) - \sin(2x) \sin(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \cos(2x) + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(2x)$

Подставляем значения обратно в уравнение:

$\frac{1}{2} \cos(2x) - \frac{3}{2} \left(\frac{1}{2} \cos(2x) + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(2x)\right) + \frac{1}{2} = 0$