Question

Найдите область значения √2x^2-3x-2​

Answer 1

 

2x2−3x−5=02x2-3x-5=0

Воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения, чтобы найти решения.

−b±√b2−4(ac)2a-b±b2-4(ac)2a

Подставляем значения a=2a=2, b=−3b=-3 и c=−5c=-5 в формулу корней квадратного уравнения и решаем относительно xx.

3±√(−3)2−4⋅(2⋅−5)2⋅23±(-3)2-4⋅(2⋅-5)2⋅2

Упростим числитель.

Нажмите, чтобы увидеть больше шагов...

x=3±72⋅2x=3±72⋅2

Умножим 22 на 22.

x=3±74x=3±74

Итоговым ответом является комбинация обоих решений.

x=52;

Answer 2

Чтобы найти область значений функции $f(x) = \sqrt{2x^2 - 3x - 2}$, давайте рассмотрим, в каких случаях подкоренное выражение может быть отрицательным, равным нулю или положительным.

Подкоренное выражение $2x^2 - 3x - 2$ - это квадратное уравнение. Давайте найдем его корни, чтобы определить, где оно меняет знак:

$2x^2 - 3x - 2 = 0$

Мы можем решить это уравнение с помощью квадратного трёхчлена или формулы дискриминанта:

Дискриминант $D = b^2 - 4ac$ для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, где в нашем случае $a = 2$, $b = -3$, $c = -2$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

Так как дискриминант положителен ($D > 0$), у уравнения есть два различных действительных корня. Это означает, что подкоренное выражение $2x^2 - 3x - 2$ меняет знак при переходе через эти корни.

Теперь найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ $x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{4}$ $x_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2$ $x_2 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}$

Таким образом, функция $f(x)$ меняет знак в точках $x = -\frac{1}{2}$ и $x = 2$. Это означает, что она положительна на интервалах $-\infty < x < -\frac{1}{2}$ и $2 < x < +\infty$, и отрицательна на интервале $-\frac{1}{2} < x < 2$.

Следовательно, областью значений функции $f(x) = \sqrt{2x^2 - 3x - 2}$ являются все положительные значения, которые она может принимать:

$\text{Область значений: } f(x) > 0, \text{ где } x \in \left(-\infty, -\frac{1}{2}\right) \cup \left(2, +\infty\right)$