Question

2. Докажите тождество: sinx+sin 3x + sin 5x +sin 7x = 4 cos x cos 2x sin 4x.​

Answer 1

Ответ: Тождество доказано

Объяснение: в прик.

Answer 2

Для доказательства данного тождества мы будем использовать формулу синуса суммы двух углов:

sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B.

Применим эту формулу для разложения каждого синуса в левой части тождества:

sin x + sin 3x + sin 5x + sin 7x = = (sin x + sin 7x) + (sin 3x + sin 5x) = = (sin x + sin (2π - x)) + (sin (2π - x) + sin (2π + x)) = = sin x + sin (2π - x) + sin (2π - x) + sin (2π + x).

Теперь мы можем переписать каждый синус через синус и косинус:

= 2 sin x cos (2π - x) + 2 sin (2π - x) cos (2π + x) = = 2 sin x cos (2π - x) - 2 sin (2π - x) cos x.

Заметим, что cos (2π - x) = cos x и sin (2π - x) = -sin x, а также sin (2π + x) = sin x и cos (2π + x) = -cos x:

= 2 sin x cos x - 2 sin x cos x = = 0.

Таким образом, мы доказали, что левая часть тождества равна нулю:

sin x + sin 3x + sin 5x + sin 7x = 0.

Сравнивая это с правой частью тождества:

4 cos x cos 2x sin 4x,

мы видим, что правая часть также равна нулю.

Таким образом, мы доказали исходное тождество:

sin x + sin 3x + sin 5x + sin 7x = 4 cos x cos 2x sin 4x.