Question

1. Решить неравенство: а) (х-3)(х-4)>0 ; б) (х-3)(х-4)<0

Answer 1

Ответ:

а.)(x-3)*(x-4)>0

$x^{2} -4x-3x+12>0$

$>0\\D=(-7)^{2} -4*12=49-48=1\\x_{1}=\frac{7+1}{2}=4\\x_{2}=\frac{7-1}{2}=3$

x∪[3;4]

б.)(x-3)*(x-4)<0

x∪[-∞;3];[4;∞]

Answer 2

Чтобы решить неравенства, содержащие произведение факторов, мы можем использовать метод интервалов или таблицу знаков. Давайте рассмотрим оба случая:

а) Неравенство (х-3)(х-4) > 0:

1. Найдем точки, в которых выражение равно нулю: х - 3 = 0 => х = 3, и х - 4 = 0 => х = 4.

2. Разобьем числовую прямую на три интервала, используя эти точки: (-∞, 3), (3, 4), (4, +∞).

3. Выберем тестовую точку из каждого интервала и подставим ее в выражение (х-3)(х-4), чтобы определить знак выражения на этом интервале:

   • Возьмем х = 0 (любое число меньше 3) и подставим в выражение: (0-3)(0-4) = 12 > 0 (положительное).
   • Возьмем х = 3.5 (любое число между 3 и 4) и подставим в выражение: (3.5-3)(3.5-4) = -0.25 < 0 (отрицательное).
   • Возьмем х = 5 (любое число больше 4) и подставим в выражение: (5-3)(5-4) = 2 > 0 (положительное).

4. Таким образом, на интервалах (-∞, 3) и (4, +∞) выражение (х-3)(х-4) > 0, а на интервале (3, 4) оно меньше нуля: (х-3)(х-4) < 0.

б) Неравенство (х-3)(х-4) < 0:

1. Мы уже нашли точки, в которых выражение равно нулю: х = 3 и х = 4.

2. Разобьем числовую прямую на те же три интервала: (-∞, 3), (3, 4), (4, +∞).

3. Выберем тестовую точку из каждого интервала и подставим ее в выражение (х-3)(х-4):

   • Возьмем х = 1 (любое число меньше 3) и подставим в выражение: (1-3)(1-4) = 6 > 0 (положительное).
   • Возьмем х = 3.5 (любое число между 3 и 4) и подставим в выражение: (3.5-3)(3.5-4) = -0.25 < 0 (отрицательное).
   • Возьмем х = 5 (любое число больше 4) и подставим в выражение: (5-3)(5-4) = 2 > 0 (положительное).

4. Таким образом, на интервале (3, 4) выражение (х-3)(х-4) меньше нуля: (х-3)(х-4) < 0, а на остальных интервалах оно больше нуля.

Итак, решения неравенств: а) (х-3)(х-4) > 0 на интервалах (-∞, 3) и (4, +∞). б) (х-3)(х-4) < 0 на интервале (3, 4).