Question

Знайти частинні розв'язки рівняння:xy'+y=3, якщо y=0 при x =1​

Answer 1

Ответ:

Объяснение: решение в файле

Answer 2

Дане диференціальне рівняння є лінійним першого порядку зі змінними коефіцієнтами. Для його розв'язання ми можемо скористатися методом інтегруючого множника. Інтегруючий множник знаходиться за формулою:

$\mu(x) = \exp\left(\int P(x) \, dx\right),$

де $P(x)$ - коефіцієнт при $y'$ у рівнянні. У нашому випадку $P(x) = 1$. Тоді:

$\mu(x) = \exp\left(\int 1 \, dx\right) = \exp(x).$

Множимо обидві сторони рівняння на $\mu(x)$:

$\exp(x) \cdot xy' + \exp(x) \cdot y = 3\exp(x).$

Тепер ліва сторона може бути зведена до похідної добутку:

$\frac{d}{dx} (xy \exp(x)) = 3\exp(x).$

Інтегруємо обидві сторони відносно $x$:

$xy \exp(x) = \int 3\exp(x) \, dx = 3\exp(x) + C,$

де $C$ - константа інтегрування. Розділимо обидві сторони на $\exp(x)$:

$xy = 3 + Ce^{-x}.$

Підставимо початкову умову $y(1) = 0$:

$1 \cdot 0 = 3 + Ce^{-1},$

$C = -3e.$

Отже, розв'язок рівняння виглядає наступним чином:

$xy = 3 - 3e^{-x}.$

Це є частинний розв'язок задачі Коші для даного диференціального рівняння при початковій умові $y(1) = 0$.