Question

Розвяжить неривнисть : -x²-3x+4≥0

Answer 1

-x²-3x+4⩾0

-3x = x-4x

-x²+x-4x+4⩾0

-x*(x-1)-4(x-1)⩾0

-(x-1)*(x+4)⩾0

(x-1)*(x+4)⩽0

{x-1⩽0

{x+4⩾0

{x-1⩾0

{x+4⩽0

{x⩽1

{x⩾-4

{x⩾1

{x⩽ -4

x∈ [ -4,1 ]

x∈ ∅

Answer 2

Щоб розв'язати нерівність $-x^2 - 3x + 4 \geq 0$, спростимо її та визначимо інтервали, на яких вона виконується.

1. Спочатку знайдемо корені квадратного рівняння $-x^2 - 3x + 4 = 0$:

   Використовуючи квадратну формулу $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, де $ax^2 + bx + c = 0$, отримаємо:

   $a = -1, \, b = -3, \, c = 4$

   $x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 4}}{2 \cdot (-1)}$

   $x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{-2}$

   $x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{-2}$

   $x = \frac{3 \pm 5}{-2}$

   Отже, корені рівняння $-x^2 - 3x + 4 = 0$ є: $x_1 = -4$ та $x_2 = 1$.

2. Знаючи корені, давайте проаналізуємо знак виразу $-x^2 - 3x + 4$ на різних інтервалах числової прямої:

   а) Інтервал $(-\infty, -4)$: Підставимо вибіркову точку, наприклад, $x = -5$: $-(-5)^2 - 3 \cdot (-5) + 4 = -25 + 15 + 4 = -6$ Вираз від'ємний, тобто $-x^2 - 3x + 4$ менше нуля на цьому інтервалі.

   б) Інтервал $(-4, 1)$: Підставимо вибіркову точку, наприклад, $x = 0$: $-(0)^2 - 3 \cdot (0) + 4 = 4$ Вираз додатний, тобто $-x^2 - 3x + 4$ більше нуля на цьому інтервалі.

   в) Інтервал $(1, \infty)$: Підставимо вибіркову точку, наприклад, $x = 2$: $-(2)^2 - 3 \cdot (2) + 4 = -4$ Вираз від'ємний, тобто $-x^2 - 3x + 4$ менше нуля на цьому інтервалі.

3. Зібравши усе разом, маємо:

   Нерівність $-x^2 - 3x + 4 \geq 0$ виконується на інтервалах:

   • $x \in (-\infty, -4]$
   • $x \in [1, \infty)$

   Нерівність не виконується на інтервалі $(-4, 1)$.

Отже, розв'язок нерівності $-x^2 - 3x + 4 \geq 0$ полягає в об'єднанні інтервалів, на яких вона виконується.