Question

Найдите производную сложной функции:f(x) = ln(2x) + √2x

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

$f(x)=ln(2x)+\sqrt{2x} \\f'(x)=(ln(2x))'+(\sqrt{2x})'=\frac{1}{2x} *(2x)'+((2x)^{\frac{1}{2} })'=\frac{2}{2x}+\frac{1}{2} *(2x)^{-\frac{1}{2}}*(2x)' =\\=\frac{1}{x}+\frac{2}{2*\sqrt{2x} } =\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{2x} } .$

Answer 2

Для нахождения производной сложной функции f(x) = ln(2x) + √2x, мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции, которое называется правилом цепочки (chain rule).

Правило цепочки гласит: если у нас есть функция g(u) и функция h(x) такая, что x = g(u), то производная составной функции h(g(u)) по u равна произведению производной h по x и производной g по u:

(d/dx)[h(g(u))] = h'(g(u)) * g'(u)

В данном случае, у нас есть две составные функции: первая - ln(2x), вторая - √(2x). Давайте найдем производные каждой из них по отдельности.

1. Первая составная функция: g(u) = 2x, h(x) = ln(x) g'(u) = 2 h'(x) = 1/x

   Теперь используем правило цепочки для первой составной функции: (d/dx)[ln(2x)] = (1/2x) * 2 = 1/x

2. Вторая составная функция: g(u) = 2x, h(x) = √x g'(u) = 2 h'(x) = (1/2) * x^(-1/2) = 1/(2√x)

   Теперь используем правило цепочки для второй составной функции: (d/dx)[√(2x)] = (1/(2√2x)) * 2 = 1/(√2x)

Теперь найдем производную сложной функции f(x) = ln(2x) + √2x: f'(x) = (d/dx)[ln(2x)] + (d/dx)[√(2x)] = 1/x + 1/(√2x)

Итак, производная функции f(x) = ln(2x) + √2x равна: f'(x) = 1/x + 1/(√2x)