Question

Обчислите значение производной функции y(x) в точке x0, если: а) y=\frac{1}{4} x^4-\frac{2}{3} x^3+\frac{1}{2} x^2-x+2, x_{0}=-1 б) y=\frac{2x^2+1}{x^2+1} , x_{0}=1 б) y=2x-tg2x, x_{0}=-\pi/8 г) y=\frac{2}{3} sin\frac{3x}{2} cos\frac{3x}{2} , x_{0}=\pi/6 Помогите, пожалуйста!!!

Answer 1

есть фото? у вас?если есть дайте фото

Answer 2

Давайте по очереди найдем производные для каждой из данных функций и вычислим их значения в указанных точках.

а) Функция: y = \frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - x + 2 Первая производная: y' = x^3 - 2x^2 + x - 1 Значение в точке x₀ = -1: y'(-1) = (-1)^3 - 2(-1)^2 + (-1) - 1 = -1 + 2 - 1 - 1 = -1

б) Функция: y = \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 1} Первая производная: y' = \frac{(4x)(x^2 + 1) - (2x^2 + 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2} Упростим: y' = \frac{4x^3 + 4x - 4x^3 - 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x}{(x^2 + 1)^2} Значение в точке x₀ = 1: y'(1) = \frac{2(1)}{(1^2 + 1)^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

в) Функция: y = 2x - \tan(2x) Первая производная: y' = 2 - 2\sec^2(2x) Значение в точке x₀ = -\frac{\pi}{8}: y'\left(-\frac{\pi}{8}\right) = 2 - 2\sec^2\left(2\left(-\frac{\pi}{8}\right)\right) = 2 - 2\sec^2\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 2 - 2 = 0

г) Функция: y = \frac{2}{3}\sin\left(\frac{3x}{2}\right)\cos\left(\frac{3x}{2}\right) Первая производная: y' = \frac{2}{3}\left(\frac{3}{2}\cos\left(\frac{3x}{2}\right)\cos\left(\frac{3x}{2}\right) - \frac{3}{2}\sin\left(\frac{3x}{2}\right)\sin\left(\frac{3x}{2}\right)\right) Упростим: y' = -2\sin\left(\frac{3x}{2}\right)\cos\left(\frac{3x}{2}\right) Значение в точке x₀ = \frac{\pi}{6}: y'\left(\frac{\pi}{6}\right) = -2\sin\left(\frac{3}{2}\cdot\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\frac{3}{2}\cdot\frac{\pi}{6}\right) = -2\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -1

Итак, результаты:

а) y'(-1) = -1 б) y'(1) = \frac{1}{2} в) y'\left(-\frac{\pi}{8}\right) = 0 г) y'\left(\frac{\pi}{6}\right) = -1