Question

Необходимо найти частное решение дифференциального уравнения. y'+(1/x)y=xy^2y(1)=1​

Answer 1

$y'+\frac{1}{x}\cdot y=xy^2\\\\y=uv\ \ ,\ \ y'=u'v+uv'\\\\u'v+uv'+\frac{uv}{x}=x(uv)^2\\\\u'v+u\, (v'+\frac{v}{x})=x(uv)^2\\\\a)\ \ \frac{dv}{dx}=-\frac{v}{x}\ \ ,\ \ \int \frac{dv}{v}=-\int \frac{dx}{x}\ \ ,\ \ ln|v|=-ln|x|\ \ ,\ \ v=\frac{1}{x}\\\\b)\ \ u'\cdot \frac{1}{x}=x\cdot u^2\cdot \frac{1}{x^2}\ \ ,\ \ \frac{du}{dx}=u^2\ \ ,\ \ \int \frac{du}{u^2}=\int dx\ \ ,\ \ -\frac{1}{u}=x+C\ ,\\\\u=-\frac{1}{x+C}\\\\c)\ \ \ y=-\frac{1}{x\, (x+C)}$

$d)\ \ y(1)=1:\ \ 1=-\frac{1}{1+C}\ \ ,\ \ 1+C=-1\ \ ,\ \ C=-2\\\\y=-\frac{1}{x\, (x-2)}$

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение является уравнением Бернулли. Оно имеет вид:

$y' + \frac{1}{x} y = x y^2$

Для решения этого уравнения воспользуемся заменой переменной $u = y^{-1}$, тогда $y = u^{-1}$, и $y' = -u^{-2}u'$. Подставим это в исходное уравнение:

$-u^{-2}u' + \frac{1}{x} u^{-1} = x u^{-2}$

Домножим уравнение на $-u^2$ для упрощения:

$u' - \frac{1}{x} u = -x$

Это уже линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Для его решения воспользуемся методом интегрирующего множителя. Уравнение можно переписать в виде:

$u' - \frac{1}{x} u = -x$

Сравним это с стандартной формой линейного уравнения $u' + P(x)u = Q(x)$, где $P(x) = -\frac{1}{x}$ и $Q(x) = -x$.

Интегрирующий множитель $M(x)$ можно найти по формуле $M(x) = e^{\int P(x) dx}$, в данном случае:

$M(x) = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln{x}} = \frac{1}{x}$

Теперь умножим обе стороны уравнения на интегрирующий множитель:

$\frac{1}{x} u' - u = -1$

Проинтегрируем обе стороны уравнения:

$\int \frac{1}{x} u' dx - \int u dx = -\int 1 dx$

$\ln|x| - \int u dx = -x + C_1$

$\ln|x| - \int \frac{1}{y} dy = -x + C_1$

$\ln|x| - \ln|y| = -x + C_1$

$\ln\left|\frac{x}{y}\right| = -x + C_1$

Теперь решим полученное уравнение относительно $y$:

$\frac{x}{y} = e^{-x + C_1}$

$y = \frac{x}{e^{-x + C_1}} = x e^{x - C_1}$

Где $C_1$ - произвольная постоянная.

Таким образом, частное решение данного дифференциального уравнения имеет вид:

$y(x) = x e^{x - C_1}$

С учетом начального условия $y(1) = 1$, можно найти конкретное значение постоянной $C_1$:

$1 = 1 \cdot e^{1 - C_1}$