Question

Найдите производные функций: а) f (x) = x^2 ( 3x + x^3 ) б) f (x) = ( 2x - 7 )^8 в) f (x) = x - 2 sin x

Answer 1

Объяснение:

A) раскрою скобки, и найду производную, как производную суммы

${x}^{2} \times 3x + {x}^{2} \times {x}^{3} = 3 {x}^{3} + {x}^{5}$

Найдём производную этой суммы

$3 \times 3 \times {x}^{2} + 5 \times {x}^{4} = 6 {x}^{2} + 5 {x}^{4}$

Б) в восьмую степень возводить не хочется, найдём производную сложной функции

Это производная самой функции умножить на производную аргумента.

$8 \times {(2x - 7)}^{7} \times 2 = 16 {(2x - 7)}^{7}$

Внешняя функция (t - любое выражение, здесь 2x-7)

${t}^{8}$

Внутренняя функция (2x-7)

Нашли их производные и перемножили

Получили

$16 {(2x - 7)}^{7}$

В) производная разности равна разности производных:

$1 - 2 \cos(x)$

Производная x =1

Производная sinx = cosx

Двойка сохраняется. Получаем 1-2cosx

Answer 2

Давайте найдем производные данных функций.

а) $f(x) = x^2 (3x + x^3)$

Используем правило производной произведения функций (производная произведения равна произведению производной первой функции на вторую плюс первой функции на производную второй):

$f'(x) = 2x(3x + x^3) + x^2(3 + 3x^2) = 6x^2 + 2x^4 + 3x^4 + 3x^2 = 9x^2 + 5x^4$

б) $f(x) = (2x - 7)^8$

Здесь мы можем использовать правило для производной функции в степени:

$f'(x) = 8(2x - 7)^{8-1} \cdot 2 = 16(2x - 7)^7$

в) $f(x) = x - 2 \sin(x)$

Для нахождения производной этой функции используем правило производной суммы:

$f'(x) = \frac{d}{dx} (x) - \frac{d}{dx} (2 \sin(x)) = 1 - 2 \cos(x)$

Итак, производные данных функций:

а) $f'(x) = 9x^2 + 5x^4$ б) $f'(x) = 16(2x - 7)^7$ в) $f'(x) = 1 - 2 \cos(x)$