Question

Найти точку максимума функции: y=√16+2x-x^2

Answer 1

Ответ: максимум находится в вершине параболы. См фото.

Объяснение:

Answer 2

Для нахождения точки максимума функции сначала найдем её производную и приравняем её к нулю, чтобы найти критические точки. Затем используем вторую производную и тест на выпуклость, чтобы убедиться, что это действительно точка максимума.

Дана функция: $y = \sqrt{16 + 2x - x^2}$.

1. Найдем производную функции $y$ по $x$: $y' = \frac{d}{dx}\left(\sqrt{16 + 2x - x^2}\right).$

2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение относительно $x$ для поиска критических точек.

3. Найдем вторую производную $y''$ и проанализируем её, чтобы определить выпуклость функции в найденной критической точке.

4. Если вторая производная отрицательна, то это будет точка максимума.

Давайте выполним вычисления:

1. Производная функции $y$: $y' = \frac{d}{dx}\left(\sqrt{16 + 2x - x^2}\right) = \frac{1}{2\sqrt{16 + 2x - x^2}} \cdot (2 - 2x).$

2. Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение: $\frac{1}{2\sqrt{16 + 2x - x^2}} \cdot (2 - 2x) = 0.$

Решая это уравнение, получаем $x = 1$. Это будет критическая точка.

3. Найдем вторую производную $y''$: $y'' = \frac{d^2}{dx^2}\left(\sqrt{16 + 2x - x^2}\right) = -\frac{1}{4(16 + 2x - x^2)^{3/2}} \cdot (-2) = \frac{1}{2(16 + 2x - x^2)^{3/2}}.$

4. Теперь подставим найденное значение $x = 1$ во вторую производную: $y''(1) = \frac{1}{2(16 + 2 - 1^2)^{3/2}} = \frac{1}{2 \cdot 17^{3/2}} > 0.$

Так как вторая производная положительна, это подтверждает, что $x = 1$ является точкой минимума, а не максимума. Однако, данная функция не имеет точки максимума, так как она является функцией корня и имеет только точку минимума в данном диапазоне.