Question

Найти производную от функции f(x)=(2x+1)^5*√(x^6+16). если x0=0​

Answer 1

$f(x) = (2x+1)^5\cdot\sqrt{x^6+16}$

$f'(x) = ((2x+1)^5)'\cdot\sqrt{x^6+16}+(2x+1)^5\cdot(\sqrt{x^6+16})' =$

$= 5\cdot (2x+1)^4\cdot (2x+1)'\cdot\sqrt{x^6+16} +$

$+ (2x+1)^5\cdot \frac{(x^6+16)'}{2\cdot\sqrt{x^6+16}} =$

$= 5\cdot (2x+1)^4\cdot 2\cdot\sqrt{x^6+16} +$

$+ (2x+1)^5\cdot\frac{6\cdot x^5}{2\cdot\sqrt{x^6+16}} =$

$= 10\cdot (2x+1)^4\cdot\sqrt{x^6+16} +$

$+ (2x+1)^5\cdot\frac{3\cdot x^5}{\sqrt{x^6+16}} =$

$= \frac{(2x+1)^4}{\sqrt{x^6+16}}\cdot ( 10\cdot(x^6+16) +$

$+ (2x+1)\cdot 3\cdot x^5 ) =$

$= \frac{(2x+1)^4}{\sqrt{x^6+16}}\cdot (16x^6 + 3x^5 + 160)$.

x₀ = 0,

$f'(x_0) = f'(0) = \frac{1^4}{\sqrt{16}}\cdot 160 = \frac{1}{4}\cdot 160=$

$= 40$.

Ответ. 40.

Answer 2

Давайте найдем производную функции f(x) сначала по частям. Затем мы подставим значение $x_0 = 0$, чтобы найти значение производной в этой точке.

Функция $f(x) = (2x+1)^5 \cdot \sqrt{x^6 + 16}$ может быть представлена как произведение двух функций: первая $u(x) = (2x+1)^5$, а вторая $v(x) = \sqrt{x^6 + 16}$.

Применяя правило производной произведения функций (производная произведения равна произведению производных), получим:

$f'(x) = u'v + uv'$

где $u'$ - производная первой функции, $v'$ - производная второй функции.

Вычислим производные:

1. Производная $u(x) = (2x+1)^5$: Используем правило степенной функции и цепного правила: $u'(x) = 5(2x+1)^4 \cdot 2 = 10(2x+1)^4$

2. Производная $v(x) = \sqrt{x^6 + 16}$: Используем правило производной композиции функций: $v'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^6 + 16}} \cdot 6x^5 = \frac{3x^5}{\sqrt{x^6 + 16}}$

Теперь можем собрать все вместе и найти производную $f'(x)$:

$f'(x) = u'v + uv' = 10(2x+1)^4 \cdot \sqrt{x^6 + 16} + (2x+1)^5 \cdot \frac{3x^5}{\sqrt{x^6 + 16}}$

Теперь подставим $x_0 = 0$, чтобы найти значение производной в этой точке:

$f'(0) = 10(2 \cdot 0 + 1)^4 \cdot \sqrt{0^6 + 16} + (2 \cdot 0 + 1)^5 \cdot \frac{3 \cdot 0^5}{\sqrt{0^6 + 16}}$

Учитывая, что $2 \cdot 0 + 1 = 1$ и $0^6 = 0$, получим:

$f'(0) = 10 \cdot 1^4 \cdot \sqrt{16} + 1^5 \cdot \frac{0}{\sqrt{16}} = 10 \cdot 4 + 0 = 40$